Question

7．面對(duì)近期華北地區(qū)嚴(yán)重的空氣污染，某同學(xué)設(shè)計(jì)了一個(gè)如圖所示的靜電除塵器，該除塵器的上下底面是邊長(zhǎng)為 L 的正方形金屬板，前后面是絕緣的透明有機(jī)玻璃，左右面是高為 h 的用絕緣透明有機(jī)玻璃制成可開(kāi)啟和關(guān)閉的通道口．使用時(shí)底面水平放置，兩金屬板連接到電壓為 U 的高壓電源兩極（下板接負(fù)極），于是在兩金屬板間產(chǎn)生一個(gè)勻強(qiáng)電場(chǎng)（忽略邊緣效應(yīng)）．均勻分布的帶電煙塵顆粒在單位體積內(nèi)的煙塵個(gè)數(shù)為 n，已知每個(gè)煙塵顆粒質(zhì)量為 m，帶正電，電荷量為 q，不考慮煙塵顆粒之間的相互作用和空氣阻力，并忽略煙塵顆粒的重力．
（1）左右通道口關(guān)閉，假設(shè)煙塵顆粒開(kāi)始都在容器內(nèi)處于靜止?fàn)顟B(tài)，在閉合開(kāi)關(guān)后：
①經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間顆�？梢员蝗�部吸附？
②除塵過(guò)程中電場(chǎng)對(duì)煙塵顆粒共做多少功？
（2）左右通道口開(kāi)啟，假設(shè)煙塵顆粒以 v=10m/s 的水平速度從左向右通過(guò)除塵器，且 以上各物理量取值 U=1600V，L=0.20m，h=0.10m，n=10¹² 個(gè)/m³，q=+2.0×10^-17C，m=1.0×10^-15kg，在閉合開(kāi)關(guān)后：
①求除塵過(guò)程中煙塵顆粒在豎直方向所能偏轉(zhuǎn)的最大距離；
②除塵效率是衡量除塵器性能的一個(gè)重要參數(shù)．除塵效率是指一段時(shí)間內(nèi)被吸附的煙塵顆粒數(shù)量與進(jìn)入除塵器煙塵顆�？偭康谋戎担�試求在上述情況下該除塵器的除塵效 率；若用該除塵器對(duì)上述比荷的顆粒進(jìn)行除塵，試通過(guò)分析給出在保持除塵器通道大小不變的前提下，提高其除塵效率的方法（提出一種方法即可）．

Answer 1

分析 （1）在本題中帶電顆粒做初速度為零的勻加速運(yùn)動(dòng)直到到達(dá)負(fù)極板為止，當(dāng)離負(fù)極板最遠(yuǎn)的粒子到達(dá)負(fù)極板時(shí)，所有顆粒全部被吸收；由于顆粒均勻分布在密閉容器內(nèi)，可以等效為所有顆粒從兩極板中間被加速到負(fù)極板，從而求出電場(chǎng)對(duì)顆粒做的總功．
（2）①通道內(nèi)只受電場(chǎng)力，由牛頓第二定律可求得加速度；帶電粒子在電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，由運(yùn)動(dòng)的合成與分解可求得偏轉(zhuǎn)的最大的距離；
    ②根據(jù)進(jìn)入的顆粒及吸附的顆�？芍�吸附的效率

解答 解：（1）①當(dāng)最靠近上板的塵粒運(yùn)動(dòng)到下板時(shí)，全部煙塵就被吸附，設(shè)需時(shí)間t，煙塵顆粒受到的電場(chǎng)力：
F=qE=$\frac{qU}{h}$
從盒子最上端運(yùn)動(dòng)到盒底的塵粒運(yùn)動(dòng)時(shí)間設(shè)為t，則有：
h=$\frac{1}{2}a{t^2}$
聯(lián)立得：$t=h\sqrt{\frac{2m}{qU}}$
②設(shè)容器容積為V，電源接通前塵�？倲�(shù)為N，則有：
N=nV=nhL²  
電場(chǎng)對(duì)煙塵做的總功為：W=$\frac{1}{2}$NqU=$\frac{1}{2}$nhL²qU 
（2）①煙塵顆粒在通道內(nèi)只受電場(chǎng)力的作用，電場(chǎng)力為：F=qE     
又因?yàn)?E=\frac{U}{h}$
設(shè)煙塵顆粒在通道內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí)加速度為a，根據(jù)牛頓第二定律有：$\frac{Uq}{h}=ma$
若通道最上方的顆粒能通過(guò)通道，則這些顆粒在豎直方向上有最大的偏轉(zhuǎn)距離
這些顆粒在水平方向的位移為：L=vt                            
在豎直方向的位移為：h′=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$
聯(lián)立解得：h′=$\frac{qU{L}^{2}}{2mh{v}^{2}}$
代入數(shù)據(jù)對(duì)：h′=0.064m＜h=0.10m，可確定這些顆粒能通過(guò)通道后在豎直方向所能偏轉(zhuǎn)的最大距離為0.064m
②每立方米有煙塵顆粒為n，時(shí)間t內(nèi)進(jìn)入除塵器的顆粒：N₁=nhLvt                        
時(shí)間t內(nèi)吸附在底面上的顆粒：N₂=nh?Lvt                     
則除塵效率：η=$\frac{nh′Lvt}{nhLvt}$=$\frac{h′}{h}$=$\frac{0.064}{0.10}$=64% 
可知，在保持除塵器通道大小 不變的前提下，提高其除塵效率的方法就是增大h′，結(jié)合上一步的分析可知，要增大h′，則需要增大金屬極板之間的電壓，或減小顆粒進(jìn)入通道的速度．
答：（1）左右通道口關(guān)閉，假設(shè)煙塵顆粒開(kāi)始都在容器內(nèi)處于靜止?fàn)顟B(tài)，在閉合開(kāi)關(guān)后：
①經(jīng)過(guò)時(shí)間$h\sqrt{\frac{2m}{qU}}$顆�？梢员蝗�部吸附；
②除塵過(guò)程中電場(chǎng)對(duì)煙塵顆粒共做功為$\frac{1}{2}$nhL²qU；
（2）左右通道口開(kāi)啟，假設(shè)煙塵顆粒以 v=10m/s 的水平速度從左向右通過(guò)除塵器，且 以上各物理量取值 U=1600V，L=0.20m，h=0.10m，n=1012 個(gè)/m³，q=+2.0×10^-17C，m=1.0×10^-15kg，在閉合開(kāi)關(guān)后：
①除塵過(guò)程中煙塵顆粒在豎直方向所能偏轉(zhuǎn)的最大距離為0.064m；
②在上述情況下該除塵器的除塵效 率為64%；若用該除塵器對(duì)上述比荷的顆粒進(jìn)行除塵，在保持除塵器通道大小 不變的前提下，提高其除塵效率的方法：增大金屬極板之間的電壓，或減小顆粒進(jìn)入通道的速度．

點(diǎn)評(píng) 本題屬于較難題目，考查帶電粒子在電場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，由于結(jié)合生活中的常識(shí)，故有一定的難度，在解答時(shí)應(yīng)注意審題，明確題意，構(gòu)建模型才能順利求解．