Question

2．在地面附近的豎直平面內(nèi)，有如圖所示足夠大的電磁場(chǎng)區(qū)域，虛線MN上方，有電場(chǎng)強(qiáng)度為E₁的豎直向下的勻強(qiáng)電場(chǎng)，虛線與水平面的夾角θ=45°，虛線下方有電場(chǎng)強(qiáng)度為E₂的豎直向上的勻強(qiáng)電場(chǎng)和垂直于豎直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，已知E₂=E₁，勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小B=0.1T，從圖中A點(diǎn)沿水平方向同時(shí)向左發(fā)射兩個(gè)比荷相同的帶正電質(zhì)點(diǎn)甲和乙，比荷$\frac{q}{m}$=100c/kg，甲，乙質(zhì)點(diǎn)的初速度分別v₁=10m/s和v₂=20m/s，它們進(jìn)入虛線下方后均恰好做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，經(jīng)下方電磁場(chǎng)區(qū)域偏轉(zhuǎn)后到達(dá)虛線MN上的P、Q兩點(diǎn)，（P、Q兩點(diǎn)圖中未標(biāo)出）求：

（1）電場(chǎng)強(qiáng)度E₁的大小
（2）設(shè)甲質(zhì)點(diǎn)打在MN上時(shí)速度方向與MN的夾角為α，且sinα=$\frac{1}{\sqrt{10}}$，則甲質(zhì)點(diǎn)從A到P的位移大小為多少？
（3）甲、乙兩質(zhì)點(diǎn)到P、Q的時(shí)間差．

Answer 1

分析 （1）抓住粒子在下半?yún)^(qū)域內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，知電場(chǎng)力和重力平衡，結(jié)合平衡求出電場(chǎng)強(qiáng)度的大小．
（2）根據(jù)牛頓第二定律求出類平拋運(yùn)動(dòng)的加速度，結(jié)合豎直位移和水平位移關(guān)系求出運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，從而得出下降的高度，從而求出甲質(zhì)點(diǎn)第一次打到MN上時(shí)，離A點(diǎn)距離，根據(jù)平行四邊形定則求出進(jìn)入磁場(chǎng)的速度，根據(jù)半徑公式求出粒子在復(fù)合場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑，根據(jù)幾何關(guān)系求出第二次到達(dá)MN和第一次經(jīng)過MN兩位置間距離，從而得出甲質(zhì)點(diǎn)從A到P的位移大�。�
（3）根據(jù)類平拋運(yùn)動(dòng)求出乙質(zhì)點(diǎn)在上半?yún)^(qū)域做類平拋時(shí)間，從而得出甲、乙兩質(zhì)點(diǎn)到P、Q的時(shí)間差．

解答 解：（1）因?yàn)橘|(zhì)點(diǎn)能在下半?yún)^(qū)域做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，有：qE₂=mg，
E₁=E₂，
求得：${E}_{1}=\frac{mg}{q}=0.1N/C$．
（2）質(zhì)點(diǎn)首先在上半?yún)^(qū)域做類平拋運(yùn)動(dòng)，設(shè)加速度為a，有：
a=$\frac{q{E}_{1}+mg}{m}=2g$，
設(shè)甲質(zhì)點(diǎn)在上半?yún)^(qū)域做類平拋時(shí)間為t₁，有：$tan45°=\frac{\frac{1}{2}a{{t}_{1}}^{2}}{{v}_{1}{t}_{1}}$，
求得：${t}_{1}=\frac{2{v}_{1}}{a}tan45°=\frac{2×10}{20}×1s=1s$，
設(shè)甲質(zhì)點(diǎn)做類平拋運(yùn)動(dòng)的豎直高度為h₁，得：
${h}_{1}=\frac{1}{2}a{{t}_{1}}^{2}=\frac{1}{2}×20×1m=10m$，
所以甲質(zhì)點(diǎn)第一次打到MN上時(shí)，離A點(diǎn)距離x₁為：${x}_{1}=\frac{{h}_{1}}{sin45°}=\frac{10}{\frac{\sqrt{2}}{2}}m=10\sqrt{2}m$，
甲質(zhì)點(diǎn)打在MN上的速度v為：$v=\sqrt{{{v}_{1}}^{2}+（a{t}_{1}）^{2}}$=$\sqrt{100+400}m/s=10\sqrt{5}m/s$．
設(shè)甲質(zhì)點(diǎn)在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為r，有：$qvB=m\frac{{v}^{2}}{r}$，
求得：$r=\frac{mv}{qB}=\frac{10\sqrt{5}}{100×0.1}m=\sqrt{5}m$，
所以第二次到達(dá)MN和第一次經(jīng)過MN兩位置間距離為：x₂=2rsinα=$2\sqrt{5}×\frac{1}{\sqrt{10}}=\sqrt{2}m$．
求得PA之間位移大小為：$△x={x}_{1}-{x}_{2}=10\sqrt{2}-\sqrt{2}m=9\sqrt{2}m$．
（3）同理得乙質(zhì)點(diǎn)在上半?yún)^(qū)域做類平拋時(shí)間為t₂=2s，
兩質(zhì)點(diǎn)在磁場(chǎng)區(qū)域運(yùn)動(dòng)的時(shí)間相等，所以到達(dá)P、Q時(shí)間差為：△t=t₂-t₁=2-1s=1s．
答：（1）電場(chǎng)強(qiáng)度E₁的大小為0.1N/C．
（2）甲質(zhì)點(diǎn)從A到P的位移大小為$9\sqrt{2}m$．
（3）甲、乙兩質(zhì)點(diǎn)到P、Q的時(shí)間差為1s．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了帶電粒子在復(fù)合場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，知道粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，電場(chǎng)力和重力平衡，掌握處理類平拋運(yùn)動(dòng)的方法，關(guān)鍵理清兩個(gè)分運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，結(jié)合牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式綜合求解．