Question

18．如圖所示，邊長為R的正方體空間圖形ABCD-A₁B₁C₁D₁，其下表面在水平地面上，將質量為m的小球從頂點A在∠BAD所在范圍內（包括邊界）分別沿不同的水平方向拋出，落點都在A₁B₁C₁D₁平面范圍內（包括邊界）．不計空氣阻力，重力加速度為g．
（1）若小球落在B₁D₁線段上，求小球落地時最大的動能；
（2）若小球軌跡與AC₁線段相交，在交點處的速度方向與水平面的夾角為α，求tanα．

Answer 1

分析 小球做平拋運動，水平分運動為勻速直線運動，豎直分運動為自由落體運動．運動時間由下落的高度決定．由分位移公式求初速度．由機械能守恒定律研究落地時機械能．注意明確幾何關系的正確應用即可求解．

解答 解：（1）小球落在B₁點時速度最大，落地動能最大，根據(jù)機械能守恒定律有：
E_k=mgR+$\frac{1}{2}$mv₀²
小球做平拋運動
豎直方向上：R=$\frac{1}{2}$gt²
水平方向上：R=v₀t
解得：E_K=1.25mgR
（2）軌跡與AC₁線段相交的小球，根據(jù)幾何關系有：
lcosθ=v₀t
lsinθ=$\frac{1}{2}$gt²
而由幾何關系可知：cosθ=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，sinθ=$\frac{\sqrt{3}}{3}$
在交點處小球的豎直分速度：
v_y=v₀t
故tanθ=$\frac{{v}_{Y}}{{v}_{0}}$
解得：tanθ=$\sqrt{2}$
答：（1）若小球落在B₁D₁線段上，小球落地時最大的動能1.25mgR；
（2）若小球軌跡與AC₁線段相交，在交點處的速度方向與水平面的夾角為α，tanα等于$\sqrt{2}$．

點評 解決本題的關鍵要掌握機械能守恒定律的應用以及平拋運動的研究方法，掌握分位移公式，明確水平方向上的勻速直線運動和豎直方向上的自由落體規(guī)律的分別研究．