Question

2．雙星系統(tǒng)中兩個(gè)星球A、B的質(zhì)量都是m，A、B相距L，它們正圍繞兩者連線上某一點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)．實(shí)際觀測(cè)該系統(tǒng)的周期T要小于按照力學(xué)理論計(jì)算出的周期理論值T₀，且$\frac{T}{{T}_{0}}$=k（k＜1），于是有人猜測(cè)這可能是受到了一顆未發(fā)現(xiàn)的星球C的影響，并認(rèn)為C位于雙星A．B的連線正中間，相對(duì)A、B靜止，求：
（1）兩個(gè)星球A．B組成的雙星系統(tǒng)周期理論值T₀；
（2）星球C的質(zhì)量．

Answer 1

分析 （1）雙星繞兩者連線的中點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)，由相互之間萬(wàn)有引力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律求解運(yùn)動(dòng)周期．
（2）假定在以這兩個(gè)星體連線為直徑的球體內(nèi)均勻分布著暗物質(zhì)，由暗物質(zhì)對(duì)雙星的作用與雙星之間的萬(wàn)有引力的合力提供雙星的向心力，由此可以得到雙星運(yùn)行的角速度，進(jìn)而得到周期T₂，聯(lián)合第一問(wèn)的結(jié)果可得周期之比．

解答 解：（1）兩星的角速度相同，根據(jù)萬(wàn)有引力充當(dāng)向心力知：$\frac{Gmm}{{L}^{2}}$=mr₁${ω}_{1}^{2}$=mr₂${ω}_{1}^{2}$
可得：r₁=r₂…①
兩星繞連線的中點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，則有：$\frac{Gmm}{{L}^{2}}$=m$\frac{L}{2}$${ω}_{1}^{2}$
解得ω₁=$\sqrt{\frac{2Gm}{{L}^{3}}}$…②
所以 T₀=$\frac{2π}{{ω}_{1}}$=2π $\sqrt{\frac{{L}^{3}}{2Gm}}$…③
（2）由于C的存在，雙星的向心力由兩個(gè)力的合力提供，則
$\frac{Gmm}{{L}^{2}}$+G$\frac{Mm}{{（\frac{L}{2}）}^{2}}$=m•$\frac{1}{2}$L•${ω}_{2}^{2}$…④
T=$\frac{2π}{{ω}_{2}}$=kT₀…⑤
解③④⑤式得：M=$\frac{（{1-k}^{2}）m}{{4k}^{2}}$
答：（1）兩個(gè)星體A、B組成的雙星系統(tǒng)周期理論值2π $\sqrt{\frac{{L}^{3}}{2Gm}}$
（2）星體C的質(zhì)量是$\frac{（{1-k}^{2}）m}{{4k}^{2}}$

點(diǎn)評(píng) 本題是雙星問(wèn)題，要抓住雙星系統(tǒng)的條件：角速度與周期相同，再由萬(wàn)有引力充當(dāng)向心力進(jìn)行列式計(jì)算即可．