Question

如圖所示，將工件P（可視為質(zhì)點）無初速地輕放在以速率v勻速運行的水平傳送帶的最左端A，工件P在傳送帶的作用下開始運動，然后從傳送帶最右端B飛出，落在水平地面上．已知工件P與傳送帶之間的動摩擦因數(shù)μ=0.1，AB的長度L=8m，B距地面的高度h=0.80m．當(dāng)v=3m/s時，工件P從B端恰好水平飛出．求：
（1）工件從放上傳送帶到落地所花的總時間（結(jié)果保留兩位小數(shù)）．
（2）皮帶輪的半徑r．
（3）若改變傳送帶速率v，仍能讓工件水平拋出，試求出工件落地點與B點的水平距離x與速率v的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

分析：（1）工件在傳送帶上只要速度小于3m/s，一直做勻加速直線運動，達到傳送帶速度后做勻速直線運動，離開傳送帶做平拋運動，根據(jù)運動學(xué)公式結(jié)合牛頓第二定律求出在傳送帶上運行的時間和平拋運動的時間，從而得出總時間．
（2）工件P從B端恰好水平飛出，知在B點工件所受的支持力為零，根據(jù)牛頓第二定律，通過重力提供向心力求出皮帶輪的半徑．
（3）求出工件一直做勻加速直線運動到達B點的速度v₀，改變傳送帶的速率，若傳送帶速度v＞v₀，工件做勻加速直線運動，再做勻速直線運動，若v＜v₀，工件一直做勻加速直線運動．再根據(jù)平拋運動的規(guī)律得出水平距離x與速率v的關(guān)系．

解答：解：（1）工件在傳送帶上運動的加速度a=μg=1m/s²．
根據(jù)v²=2aL得，v=

2aL

=

2×1×8

m/s=4m/s＞3m/s，知工件在傳送帶上先做勻加速直線運動，再做勻速直線運動．
勻加速直線運動的時間t1=

v

a

=

3

1

s=3s，勻加速直線運動的位移x1=

1

2

at12=

1

2

×1×9m=4.5m．
則勻速直線運動的位移x₂=L-x₁=8-4.5m=3.5m，則勻速運動的時間t2=

x2

v

=

3.5

3

s=1.17s．
物體做平拋運動的時間t3=

2h g

=

1.6 10

s=0.4s．
則總時間t=t₁+t₂+t₃=5.07s．
（2）根據(jù)mg=m

v2

r

得，r=

v2

g

=

9

10

m=0.9m．
（3）若傳送帶的速度v＞4m/s，工件在傳送帶上一直做勻加速直線運動，平拋運動的初速度等于勻加速直線運動的末速度等于4m/s，
所以水平距離x=v0

2h g

=4×

2×0.8 10

m=1.6m．
若傳送帶的速度v＜4m/s，工件在傳送帶上先做勻加速直線運動，再做勻速直線運動，平拋運動的初速度等于傳送帶的速度v，
則水平距離x=v

2h g

=0.4v．
答：（1）工件從放上傳送帶到落地所花的總時間為5.07s．
（2）皮帶輪的半徑為0.9m．
（3）若傳送帶的速度v＞4m/s，x=1.6m，若傳送帶的速度v＜4m/s，x=0.4v．

點評：解決本題的關(guān)鍵理清工件在整個過程中的運動情況，結(jié)合牛頓第二定律和運動學(xué)公式進行求解．