Question

19．如圖甲所示，半徑R=0.45m的$\frac{1}{4}$光滑圓弧軌道固定在豎直平面內，B為軌道的最低點，在光滑的水平面上緊挨B點有一靜止的小平板車，平板車質量M=2kg，長度為L=0.5m，小車的上表面與B點等高．質量m=1kg的物塊（可視為質點）從圓弧最高點A由靜止釋放．g取10m/s²．求：

（1）物塊滑到軌道B點時對軌道的壓力大��；
（2）若平板車上表面粗糙且動摩擦因數恒定，物塊恰好沒有滑離平板車，求物塊與平板車上表面間的動摩擦因數μ；
（3）若將平板車上表面鋪上一種動摩擦擦因數逐漸增大的特殊材料，小物塊所受滑動摩擦力從左向右隨距離變化圖象（f-L圖象）如圖乙所示，若物塊滑離了平板車，求物塊滑離平板車時的速度大�。�

Answer 1

分析 （1）根據機械能守恒定律求出物體到達B點的速度，結合牛頓第二定律求出支持力的大小，從而得出物塊對軌道的壓力．
（2）物塊與平板車組成的系統(tǒng)動量守恒，由動量守恒定律可以求出物塊與平板車的速度．由系統(tǒng)的能量守恒求動摩擦因數μ．
（3）根據圖示圖象求出克服摩擦力做的功，然后由動量守恒和能量守恒結合求出物塊的速度．

解答 解：（1）物體從圓弧軌道頂端滑到B點的過程中，機械能守恒，由機械能守恒定律得：
mgR=$\frac{1}{2}$m${v}_{B}^{2}$，
代入數據解得：v_B=3m/s．
在B點，由牛頓第二定律得：N-mg=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$
代入數據解得：N=3mg=30N
由牛頓第三定律可知，物塊滑到軌道B點時對軌道的壓力：N′=N=30N．
（2）物塊滑上小車后，水平地面光滑，系統(tǒng)的動量守恒．以向右為正方向，由動量守恒定律得：
mv_B=（m+M）v_共，
代入數據解得：v_共=1m/s；
根據能量守恒得：μmgL=$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$-$\frac{1}{2}（M+m）{v}_{共}^{2}$
得：μ=0.6
（3）物塊在小車上滑行時的克服摩擦力做功為f-L圖線與橫軸所圍的面積．克服摩擦力做功為：
W_f=$\frac{2+6}{2}×0.5$J=2J，
設物塊滑離平板車時的速度大小為v₁，車的速度大小為v₂．根據動量守恒得：
mv_B=mv₁+Mv₂；
由能量守恒得：W_f=$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$-（$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}+\frac{1}{2}M{v}_{2}^{2}$）
代入數據解得：v₁=（1-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）m/s；（不合理的值舍去）
答：（1）物塊滑到軌道B點時對軌道的壓力大小為30N；
（2）物塊和平板車的最終速度大小為1m/s；
（3）物塊滑離平板車時的速度大小為（1-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）m/s．

點評 本題綜合考查了動能定理、機械能守恒定律、牛頓第二定律和運動學公式，綜合性較強，關鍵理清運動過程，明確物塊在平板車上滑動時遵守動量守恒定律和能量守恒定律．