Question

20．2013年我國相繼完成“神十”與“天宮”對接、“嫦娥”攜“玉兔”落月兩大航天工程．某航天愛好者提出“玉兔”回家的設(shè)想：如圖，將攜帶“玉兔”的返回系統(tǒng)由月球表面發(fā)射到h高度的軌道上，與在該軌道繞月球做圓周運動的飛船對接，然后由飛船送“玉兔”返回地球．設(shè)“玉兔”質(zhì)量為m，月球半徑為R，月面的重力加速度為g_月．以行星體表面為零勢能面，物體在星體表面上方h高度的引力勢能可表示為E_p=$\frac{GMmh}{R（R+h）}$，其中G為引力常量，M為星體質(zhì)量．求：
（1）月球密度；
（2）若忽略月球的自轉(zhuǎn)，從開始發(fā)射到對接完成需要對“玉兔”做的功．

Answer 1

分析 （1）月球表面的重力等于其萬有引力，由此即可求出月球的質(zhì)量，再結(jié)合密度與體積的關(guān)系即可求出密度；
（2）先根據(jù)萬有引力提供向心力，以及重力等于萬有引力，求出“玉兔”繞月球做圓周運動的動能，再根據(jù)功能關(guān)系求解需要對“玉兔”做的功．

解答 解：（1）根據(jù)萬有引力提供向心力，得：$\frac{GMm}{{R}^{2}}=m{g}_{月}$
又：V=$\frac{4}{3}π{R}^{3}$
M=ρV
聯(lián)立得：ρ=$\frac{2{g}_{月}}{4πGR}$
（2）根據(jù)萬有引力提供向心力，得：
  G$\frac{Mm}{（R+h）^{2}}$=m$\frac{{v}^{2}}{R+h}$
在月球表面上，由重力等于萬有引力，則得：G$\frac{Mm′}{{R}^{2}}$=m′g_月，即有GM=g_月R²；
“玉兔”繞月球做圓周運動的動能 E_k=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
聯(lián)立以上三式解得：E_k=$\frac{m{g}_{月}{R}^{2}}{2（R+h）}$
“玉兔”在h高度的引力勢能為E_p=$\frac{GMmh}{R（R+h）}$=$\frac{m{g}_{月}{R}^{2}h}{R（R+h）}$=$\frac{m{g}_{月}Rh}{R+h}$
根據(jù)功能關(guān)系得：從開始發(fā)射到對接完成需要對“玉兔”做的功為 W=E_p+E_k=$\frac{m{g}_{月}R}{R+h}$（h+$\frac{1}{2}$R）
答：（1）月球密度是$\frac{2{g}_{月}}{4πGR}$；
（2）若忽略月球的自轉(zhuǎn)，從開始發(fā)射到對接完成需要對“玉兔”做的功是$\frac{m{g}_{月}R}{R+h}$（h+$\frac{1}{2}$R）．

點評 解決本題的關(guān)鍵掌握萬有引力的兩個重要理論：1、萬有引力等于重力，2、萬有引力提供向心力，并能靈活運用．