Question

20．如圖中已知R₁=R₂=…=R_n=R_n+1=$\frac{R}{2}$，R=40歐，電源電壓60伏．流過(guò)R_n的電流大小是1.5×$\frac{1}{2}$^（n-1）．

Answer 1

分析 根據(jù)電路圖的特點(diǎn)可知，（n+1）個(gè)$\frac{R}{2}$的電阻與R的關(guān)系是先串后并，可以從后向前依次分析即可得出電路中的總電阻，最后由歐姆定律即可求出電流．

解答 解：分析電路圖可知，最后的三個(gè)電阻的關(guān)系是R_n與R_n+1串聯(lián)后與電阻R并聯(lián)，R_n與R_n+1串聯(lián)后的電阻值為：${R}_{n}+{R}_{n+1}=\frac{R}{2}+\frac{R}{2}=R$
與電阻R并聯(lián)后的電阻值：${R}_{并n}=\frac{R•R}{R+R}=\frac{R}{2}$
該部分與R_n-1串聯(lián)后再與前面的R并聯(lián)，R_并n與R_n-1串聯(lián)后的電阻值也是R，所以：${R}_{并n-1}=\frac{R•R}{R+R}=\frac{R}{2}$
…
可知，每一級(jí)串聯(lián)再并聯(lián)后的電阻值都等于$\frac{R}{2}$，所以電路中的總電阻為$\frac{R}{2}$，即20Ω
所以電路中的總電流：I=$\frac{60}{20}$=3A
通過(guò)R₁的電流I₁=I-I_R=$3-\frac{60}{40}$=1.5A=$\frac{1}{2}I$，
同理通過(guò)R₂的電流為R₁電流的一半即I₂=I₁×$\frac{1}{2}$^（2-1）A，通過(guò)R₃的電流為R₂電流的一半即I₃=I₁×（$\frac{1}{2}$）（^3-1），…
所以通過(guò)R_n的電流是I_n=I₁$\frac{1}{2}$^（n-1）=1.5×$\frac{1}{2}$^（n-1）
故答案為：1.5×$\frac{1}{2}$^（n-1）

點(diǎn)評(píng) 該題屬于復(fù)雜電路的化簡(jiǎn)問(wèn)題，這一個(gè)電路的特點(diǎn)是具有一定的對(duì)稱(chēng)性，解答的過(guò)程中處后面開(kāi)始分析，逐漸向前，總結(jié)得出電路中的總電阻值，得出電流與電阻之間的關(guān)系是解答的關(guān)鍵．