Question

13．由三顆星體構(gòu)成的系統(tǒng)，忽略其它星體對它們的作用，存在著一種運動形式：三顆星體在相互之間的萬有引力作用下，分別位于等邊三角形的三個頂點上，繞某一共同的圓心O在三角形所在的平面內(nèi)做相同角速度的圓周運動（圖示為A、B、C三顆星體質(zhì)量不相同時的一般情況）．若A星體質(zhì)量為2m，B、C兩星體的質(zhì)量均為m，三角形的邊長為a，求：
（1）A星體所受合力大小F_A；
（2）B星體所受合力大小F_B；
（3）C星體的軌道半徑R_C；
（4）三星體做圓周運動的周期T．

Answer 1

分析 （1）（2）由萬有引力定律，分別求出單個的力，然后求出合力即可．
（3）C與B的質(zhì)量相等，所以運行的規(guī)律也相等，然后結(jié)合向心力的公式即可求出C的軌道半徑；
（4）三星體做圓周運動的周期T相等，寫出C的向心加速度表達式即可求出．

解答 解：（1）由萬有引力定律，A星受到B、C的引力的大小：
${F}_{BA}={F}_{CA}=\frac{G{m}_{A}{m}_{c}}{{a}^{2}}=\frac{G•2{m}^{2}}{{a}^{2}}$
方向如圖，則合力的大小為：${F}_{A}=2{F}_{BA}•cos30°=2\sqrt{3}\frac{G{m}^{2}}{{a}^{2}}$
（2）同上，B星受到的引力分別為：${F}_{AB}=\frac{G•2{m}^{2}}{{a}^{2}}$，${F}_{CB}=\frac{G{m}_{B}{m}_{C}}{{a}^{2}}=\frac{G{m}^{2}}{{a}^{2}}$，方向如圖；

沿x方向：${F}_{Bx}={F}_{AB}•cos60°+{F}_{CB}=2\frac{G{m}^{2}}{{a}^{2}}$
沿y方向：${F}_{By}={F}_{AB}•sin60°=\frac{\sqrt{3}G{m}^{2}}{{a}^{2}}$
可得：${F}_{B}=\sqrt{{F}_{Bx}^{2}+{F}_{By}^{2}}$=$\frac{\sqrt{7}G{m}^{2}}{{a}^{2}}$
（3）通過對于B的受力分析可知，由于：${F}_{AB}=\frac{G•2{m}^{2}}{{a}^{2}}$，${F}_{CB}=\frac{G{m}_{B}{m}_{C}}{{a}^{2}}=\frac{G{m}^{2}}{{a}^{2}}$，合力的方向經(jīng)過BC的中垂線AD的中點，所以圓心O一定在BC的中垂線AD的中點處．所以：${R}_{C}={R}_{B}=\sqrt{（\frac{1}{2}a）^{2}+（\frac{\sqrt{3}}{4}a）^{2}}=\frac{\sqrt{7}}{4}a$
（4）由題可知C的受力大小與B的受力相同，對C星：${F}_{C}={F}_{B}=\sqrt{7}\frac{G{m}^{2}}{{a}^{2}}=m（\frac{2π}{T}）^{2}{R}_{C}$
整理得：$T=π•\sqrt{\frac{{a}^{3}}{Gm}}$
答：（1）A星體所受合力大小是$2\sqrt{3}\frac{G{m}^{2}}{{a}^{2}}$；（2）B星體所受合力大小是$\frac{\sqrt{7}G{m}^{2}}{{a}^{2}}$；（3）C星體的軌道半徑是$\frac{\sqrt{7}}{4}a$；（4）三星體做圓周運動的周期T是$π•\sqrt{\frac{{a}^{3}}{Gm}}$．

點評 該題借助于三星模型考查萬有引力定律，其中B與C的質(zhì)量相等，則運行的規(guī)律、運動的半徑是相等的．畫出它們的受力的圖象，在結(jié)合圖象和萬有引力定律即可正確解答．