Question

11．質量為m的小球A用不可伸長的細繩懸于O點，在O點的正下方有一固定的釘子B，OB=d，初始時繩子拉直，且與水平方形呈30°夾角，將小球A無初速度釋放，繩長為L，如圖所示，試求：
（1）若d=$\frac{5L}{6}$，繩子碰釘子后通過B點正上方時繩子的拉力大小；
（2）為了是小球能繞B點作完成的圓周運動，d的取值范圍．

Answer 1

分析 根據(jù)動能定理求出小球到達最高點時的速度，再在最高點，根據(jù)向心力公式列式求解繩子拉力大小，為使球能繞B點做圓周運動，在D點繩子的拉力和重力的合力提供向心力，當繩子的拉力等于零時，小球的速度最小，根據(jù)向心力公式求出最小速度，再根據(jù)動能定理列式即可求解

解答 解：（1）從釋放到運動到B點正上方時，根據(jù)動能定理得：mg$（L-2×\frac{1}{6}L）$=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$ 
    解得：v=$\sqrt{\frac{4}{3}gL}$
  在最高點，根據(jù)向心力公式得：T+mg=m$\frac{{v}^{2}}{\frac{L}{6}}$
  解得：T=8mg
（2）球能繞B點做圓周運動，在D點根據(jù)向心力公式有：
    mg+F=m$\frac{{v}^{2}}{r}$
 當F=0時，速度取最小值
  所以v$≥\sqrt{gr}$=$\sqrt{g（L-d）}$
  小球從最高點運動到D點的過程中運用動能定理得：$\frac{1}{2}$mv²-0=mg（2d-L）
  解得：v=$\sqrt{2g（2d-L）}$
   則   $\sqrt{2g（2d-L）}$$≥\sqrt{g（L-d）}$   則d$≥\frac{3}{5}L$
由題意得  d＜L
所以有：L＞d$≥\frac{3}{5}L$
答：（1）若d=$\frac{5L}{6}$，繩子碰釘子后通過B點正上方時繩子的拉力大小為8mg；
（2）為了是小球能繞B點作完成的圓周運動，d的取值范圍為L＞d$≥\frac{3}{5}L$

點評 本題主要考查了動能定理及向心力公式的直接應用，知道豎直平面內的圓周運動，在最高點和最低點是由合外力提供向心力，難度不大，屬于基礎題