Question

5．如圖所示，小圓環(huán)A套在豎直平面內(nèi)的半圓弧軌道C上，可以沿C軌道無摩擦滑動．輕細(xì)繩兩端分別與圓環(huán)A和小物體B相連，并且掛在C軌道右上端的一個輕質(zhì)小滑輪上．設(shè)小圓環(huán)A的質(zhì)量m_A=4.0kg，小物體B的質(zhì)量m_B=2.0kg，軌道C的半徑R=1.0m．現(xiàn)在把小圓環(huán)A移動到半圓弧軌道C的最低點(diǎn)后無初速釋放，求：
（1）小圓環(huán)A能上升的最大高度；
（2）小圓環(huán)A上升過程中可能達(dá)到的最大速率．（本題可以用圖形計算器工具）

Answer 1

分析 （1）A與B組成的系統(tǒng)除了重力外沒有其他力做功，系統(tǒng)機(jī)械能守恒，根據(jù)機(jī)械能守恒定律求A能上升的最大高度；
（2）根據(jù)系統(tǒng)的機(jī)械能守恒和兩個物體速度關(guān)系列式，得出A的速率與小圓環(huán)處的半徑與豎直方向的夾角θ的關(guān)系式，再由數(shù)學(xué)知識求解．

解答 解：（1）設(shè)小圓環(huán)上升到最大高度時小圓環(huán)處的半徑與豎直方向的夾角為θ，環(huán)半徑為r，由機(jī)械能守恒得：
   m_Ag（r-rcosθ）=m_Bg[$\sqrt{2}$r-2rsin（45°-$\frac{θ}{2}$）]
代入數(shù)據(jù)得   2（1-cosθ）=$\sqrt{2}$-2sin（45°-$\frac{θ}{2}$）
解得 θ=51.487°，h=r-rcosθ=0.3773m
（2）由機(jī)械能守恒得：m_Bg[$\sqrt{2}$r-2rsin（45°-$\frac{θ}{2}$）]-m_Ag（r-rcosθ）=$\frac{1}{2}$m_Av²+$\frac{1}{2}$m_B[vcos（45°-$\frac{θ}{2}$）]²，
解得 v²=$\frac{20[\sqrt{2}-2sin（45°-\frac{θ}{2}）]-40（1-cosθ）}{2+co{s}^{2}（45°-\frac{θ}{2}）}$
當(dāng)θ=23.9824°，環(huán)A上升過程中達(dá)到的最大速率 v=1.060m/s
答：
（1）小圓環(huán)A能上升的最大高度是0.3773m；
（2）小圓環(huán)A上升過程中可能達(dá)到的最大速率是1.060m/s．

點(diǎn)評 本題屬于連接體問題，接觸面光滑，沒有阻力，除了重力也沒有其他外力對系統(tǒng)做功，故一定要挖掘出系統(tǒng)的機(jī)械能守恒，并要知道兩個物體速度的關(guān)系．