Question

如圖所示，光滑水平面上，質(zhì)量為2m的小球B連接著輕質(zhì)彈簧，處于靜止；質(zhì)量為m的小球A以初速度v₀向右勻速運(yùn)動，接著逐漸壓縮彈簧并使B運(yùn)動，過一段時間，A與彈簧分離．（彈簧始終處于彈性限度以內(nèi)）
（1）在上述過程中，彈簧的最大彈性勢能是多大；
（2）若開始時在B球的右側(cè)某位置固定一塊擋板（圖中未畫出），在A 球與彈簧分離之前使B球與擋板發(fā)生碰撞，并在碰后立刻將擋板撤走．設(shè)B球與固定擋板的碰撞時間極短，碰后B球的速度大小不變但方向相反．試求出此后彈簧的彈性勢能最大值的范圍．

Answer 1

（1）當(dāng)A球與彈簧接觸以后，在彈力作用下減速運(yùn)動，而B球在彈力作用下加速運(yùn)動，彈簧勢能增加，當(dāng)A、B速度相同時，彈簧的勢能最大．
設(shè)A、B的共同速度為v，彈簧的最大勢能為E，則A、B系統(tǒng)動量守恒：mv₀=（m+2m）v①
由機(jī)械能守恒：

1

2

m

v

20

=

1

2

(m+2m)v2+E…②
聯(lián)立兩式得：E=

1

3

m

v

20

…③
（2）設(shè)B球與擋板碰撞前瞬間的速度為v_B，此時A的速度為v_A．
系統(tǒng)動量守恒：mv₀=mv_A+2mv_B…④
B與擋板碰后，以v_B向左運(yùn)動，壓縮彈簧，當(dāng)A、B速度相同（設(shè)為v_共）時，彈簧勢能最大，為E_m，則：mv_A-2mv_B=3mv_共…⑤

1

2

m

v

20

=

1

2

×3m

v

2共

+Em…⑥
由④⑤兩式得：v共=

v0-4vB

3

代入⑥式，化簡得：Em=

8m

3

[-(vB-

v0

4

)2+

3 v 20

16

]…⑦
而當(dāng)彈簧恢復(fù)原長時相碰，v_B有最大值v_Bm，則：
mv₀=mv_A′+2mv_Bm          

1

2

mv₀²=

1

2

mv_A′²+

1

2

×2mv_Bm²
聯(lián)立以上兩式得：v_Bm=

2

3

v0即v_B的取值范圍為：0＜

v

B

≤

2

3

v0…⑧
結(jié)合⑦式可得：當(dāng)v_B=

v0

4

時，E_m有最大值為：

1

2

m

v

20

…⑨
當(dāng)v_B=

2v0

3

時，E_m有最小值為：

1

27

m

v

20

答：（1）彈簧的最大彈性勢能是E=

1

3

m

v

20

．
（2）此后彈簧的彈性勢能最大值的范圍為[

1

27

m

v

20

，

1

2

m

v

20

]．