Question

【題目】如圖所示，一小車上表面由粗糙的水平部分AB和光滑的半圓弧軌道BCD組成，小車緊靠臺(tái)階靜止在光滑水平地面上，且左端與粗糙水平臺(tái)等高．水平臺(tái)與物塊P間的滑動(dòng)摩擦因數(shù)為μ=0.2，水平臺(tái)上有一彈簧，彈簧左端固定，彈簧右端與一個(gè)質(zhì)量為m1=5kg的小物塊接觸但不固定，此時(shí)彈簧處于壓縮狀態(tài)并鎖定，彈簧的彈性勢(shì)能EP=100J．現(xiàn)解除彈簧的鎖定，小物塊P從M點(diǎn)出發(fā)，MN間的距離為d=lm．物塊P到N點(diǎn)后與靜止在小車左端的質(zhì)量為m2=lkg的小物塊Q（可視為質(zhì)點(diǎn)）發(fā)生彈性碰撞（碰后立即將小物塊P取走，使之不影響后續(xù)物體的運(yùn)動(dòng)）．已知AB長(zhǎng)為L(zhǎng)=10m，小車的質(zhì)量為M=3kg．取重力加速度g=10m/s2 ，

（1）求碰撞后瞬間物塊Q的速度大小，
（2）若物塊Q在半圓弧軌道BCD上經(jīng)過(guò)一次往返運(yùn)動(dòng)（運(yùn)動(dòng)過(guò)程中物塊始終不脫離軌道），最終停在小車水平部分AB的中點(diǎn)，求半圓弧軌道BCD的半徑至少多大？
（3）若小車上表面AB和半圓弧軌道BCD面均光滑，半圓弧軌道BCD的半徑為R=1.2m，物塊Q可以從半圓弧軌道BCD的最高點(diǎn)D飛出，求其再次落回小車時(shí)，落點(diǎn)與B點(diǎn)的距離S為多少？（結(jié)果可用根號(hào)表示）

Answer 1

【答案】
（1）解：物塊P被彈簧彈開(kāi)運(yùn)動(dòng)到N點(diǎn)速度為v1，由能量守恒得：

代入數(shù)據(jù)解得v1=6m/s．

物塊P、Q發(fā)生彈性碰撞，碰后P、Q的速度為v1'、v2，規(guī)定向右為正方向，

m1v1=m1v1′+m2v2，

代入數(shù)據(jù)解得：v1'=4m/s，v2=10 m/s或v1'=6m/s，v2=0 （舍）．

答：碰撞后瞬間物塊Q的速度大小為10m/s．

（2）物塊Q從開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到與小車相對(duì)靜止過(guò)程，共同速度為v3，系統(tǒng)動(dòng)量守恒，規(guī)定向右為正方向，有：

m2v2=（m2+M）v3，

代入數(shù)據(jù)解得：v3=2.5m/s，

系統(tǒng)能量守恒： ，

代入數(shù)據(jù)解得：μ=0.25．

Q至C點(diǎn)與車共速時(shí)，半徑R最小，系統(tǒng)能量守恒，有： ，

代入數(shù)據(jù)解得：R=1.25m．

答：半圓弧軌道BCD的半徑至少為1.25m．

（3）設(shè)Q通過(guò)D點(diǎn)時(shí)，Q與小車的速度分別為v4、v5系統(tǒng)動(dòng)量、能量守恒，規(guī)定向右為正方向，

m2v2=m2v4+Mv5，

m2g2R

解得：v4=﹣2m/s，v5=4 m/s或v4=7m/s，v5=1 m/s（舍）

物塊Q通過(guò)D點(diǎn)時(shí)相對(duì)小車的速度為：v4′=6 m/s，

物塊Q再次落回小車時(shí)與物塊的距離為：s= ，

代入數(shù)據(jù)解得：s= ．

答：落點(diǎn)與B點(diǎn)的距離S為 ．

【解析】（1）彈簧彈開(kāi)的過(guò)程，彈簧彈性勢(shì)能轉(zhuǎn)化成為內(nèi)能和動(dòng)能。再結(jié)合動(dòng)量守恒分析即可。
（2）物塊和小車組成的系統(tǒng)，動(dòng)量守恒。求出共同速度。再結(jié)合能量守恒定律，列式求解即可。
（3）根據(jù)動(dòng)量守恒能量守恒求出Q通過(guò)D點(diǎn)時(shí)的速度，再利用平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律求出，物塊與小車之間的位移。