Question

2011年11月1日5時(shí)58分07秒，中國(guó)“長(zhǎng)征二號(hào)F”遙八運(yùn)載火箭在酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心載人航天發(fā)射場(chǎng)點(diǎn)火起飛，將“神舟八號(hào)”飛船發(fā)射升空．根據(jù)軌道計(jì)算結(jié)果，“神舟八號(hào)”飛船于6時(shí)7分53秒進(jìn)入近地點(diǎn)約200千米，遠(yuǎn)地點(diǎn)329千米，軌道傾角為42度，周期5379秒的初始軌道，隨后在地面測(cè)控通信系統(tǒng)的導(dǎo)引下，神舟八號(hào)飛船經(jīng)五次變軌，從初始軌道轉(zhuǎn)移到330千米的近圓軌道．現(xiàn)假設(shè)長(zhǎng)征二號(hào)運(yùn)載火箭托舉著神舟八號(hào)飛船送入近地點(diǎn)為A、遠(yuǎn)地點(diǎn)為B的初始橢圓軌道上，A點(diǎn)距地面的高度為h₁，如圖所示．以后變軌到近園軌道上運(yùn)行，若飛船在近圓軌道上飛行n圈所用時(shí)間為t．已知地球表面重力加速度為g，地球半徑為R．飛船的質(zhì)量為m₀．求：
（1）飛船在A點(diǎn)的加速度大小a．
（2）飛船在遠(yuǎn)地點(diǎn)B距地面的高度h₂．
（3）假設(shè)飛船在初始橢圓軌道A點(diǎn)的速度為V_A，變軌后進(jìn)入近園軌道運(yùn)行，這個(gè)過程合外力對(duì)飛船做的功．

Answer 1

分析：（1）設(shè)地球質(zhì)量為M．飛船在A點(diǎn)：G

Mm0

(R+h)2

=m0a ，對(duì)地面上質(zhì)量為m的物體有G

Mm

R2

=mg，聯(lián)立即可求解；
（2）根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力周期關(guān)系即可求解高度；
（3）根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力速度公式結(jié)合動(dòng)能定理即可求解．

解答：解：（1）設(shè)地球質(zhì)量為M．
飛船在A點(diǎn)：G

Mm0

(R+h)2

=m0a 
對(duì)地面上質(zhì)量為m的物體：G

Mm

R2

=mg
解得：a=

R2

(R+h1)2

g
（2）飛船在近圓軌道上飛行的周期：T=

t

n

近圓軌道半徑為r=h₂+R，
則有：G

Mm

r2

=m

4π2

T2

r
解出：h₂=

3	gR2t2 4π2n2

-R                    
（3）設(shè)飛船在近圓軌道上運(yùn)動(dòng)的速度為V_B，
G

Mm0

(R+h2)2

=

m0VB2

R+h2

 
由動(dòng)能定理可得：外力對(duì)飛船做的功W：
W=

1

2

m0VB2-

1

2

m0VA2=

m0gR2

2

3	4π2n2 R2gt2

-

1

2

m0VA2
答：（1）飛船在A點(diǎn)的加速度大小a為

R2

(R+h1)2

g；
（2）飛船在遠(yuǎn)地點(diǎn)B距地面的高度h₂為

3	gR2t2 4π2n2

-R；
（3）假設(shè)飛船在初始橢圓軌道A點(diǎn)的速度為V_A，變軌后進(jìn)入近園軌道運(yùn)行，這個(gè)過程合外力對(duì)飛船做的功為

m0gR2

2

3	4π2n2 R2gt2

-

1

2

m0VA2．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了萬(wàn)有引力提供向心力公式的直接應(yīng)用，注意選取適當(dāng)?shù)墓�式解題，難度適中．