Question

13．如圖所示，質(zhì)量為1kg的小球用長(zhǎng)為0.5m的細(xì)線懸掛在O點(diǎn)，O點(diǎn)距地面高度為5.4m．如果使小球繞OO′軸在水平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，若細(xì)線受到拉力為12.5N時(shí)就會(huì)拉斷，求：
（1）當(dāng)小球的角速度為多大時(shí)線將斷裂？
（2）小球落地點(diǎn)與懸點(diǎn)的水平距離．（g取10m/s²）

Answer 1

分析 （1）小球靠拉力和重力的合力提供向心力，根據(jù)幾何關(guān)系求出最大向心力，根據(jù)向心力公式求出最大角速度；
（2）繩斷裂后，小球做平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的基本公式即可求解．

解答 解：（1）小球在水平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，由重力G和拉力F的合力提供向心力，當(dāng)繩子拉力為12.5N時(shí)，向心力最大，則有：
F_合=$\sqrt{{F}^{2}-（mg）^{2}}$=$\sqrt{12．{5}^{2}-（1×10）^{2}}$=7.5N
合力與豎直方向之間的夾角：$cosθ=\frac{mg}{F}=\frac{1×10}{12.5}=\frac{4}{5}$
則：θ=37°
根據(jù)幾何關(guān)系得：r=L•sin37°=0.5×0.6=0.3m
根據(jù)向心力公式得：
F_合=mω²r
代入數(shù)據(jù)解得：ω=5rad/s
（2）繩斷裂后，小球做平拋運(yùn)動(dòng)，初速度為：v=ωr=5×0.3=1.5m/s
豎直方向下落的高度為：h=5.4-0.5×cos37°=5.0m
所以t=$\sqrt{\frac{2h}{g}}=\sqrt{\frac{2×5}{10}}=1$s
水平位移為：x₀=vt=1.5×1=1.5m
則：x=$\sqrt{{x}_{0}^{2}+{r}^{2}}=\sqrt{1．{5}^{2}+0．{3}^{2}}=\sqrt{2.34}$m
答：（1）當(dāng)小球的角速度為5rad/s時(shí)，線將斷裂．
（2）斷裂后小球落地點(diǎn)與懸點(diǎn)的水平距離為$\sqrt{2.34}$m．

點(diǎn)評(píng) 該題將受力分析、水平面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)與平拋運(yùn)動(dòng)結(jié)合在一起，屬于小綜合，解決本題的關(guān)鍵搞清小球做圓周運(yùn)動(dòng)向心力的來(lái)源，運(yùn)用牛頓第二定律進(jìn)行求解．