Question

如圖甲所示，建立Oxy坐標(biāo)系。兩平行極板P、Q垂直于y軸且關(guān)于x軸對(duì)稱，極板長(zhǎng)度和板間距均為l。在第一、四象限有磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，方向垂直于Oxy平面向里。位于極板左側(cè)的粒子源沿x軸向右連續(xù)發(fā)射質(zhì)量為m、電量為+q、速度相同、重力不計(jì)的帶電粒子。在0～3t₀時(shí)間內(nèi)兩板間加上如圖乙所示的電壓（不考慮極板邊緣的影響）。已知t=0時(shí)刻進(jìn)入兩板間的帶電粒子恰好在t₀時(shí)刻經(jīng)極板邊緣射入磁場(chǎng)。上述m、q、l、t₀、B為已知量。（不考慮粒子間相互影響及返回極板間的情況）

圖甲

圖乙

（1）求電壓U₀的大小。

（2）求時(shí)刻進(jìn)入兩板間的帶電粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑。

（3）何時(shí)進(jìn)入兩板間的帶電粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間最短？求此最短時(shí)間。

 

Answer 1

分析：帶電粒子在電場(chǎng)中偏轉(zhuǎn)，做類平拋運(yùn)動(dòng)，在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。正確畫出運(yùn)動(dòng)軌跡。

解：（1）t=0時(shí)刻進(jìn)入兩板間的帶電粒子在電場(chǎng)中做勻變速曲線運(yùn)動(dòng)，t₀時(shí)刻剛好從極板邊緣射出，在y軸負(fù)方向偏移的距離為，則有

①

qE=ma②

③

聯(lián)立①②③式，解得兩板間偏轉(zhuǎn)電壓為

④

（2）時(shí)刻進(jìn)入兩板間的帶電粒子，前時(shí)間在電場(chǎng)中偏轉(zhuǎn)，后時(shí)間兩板間沒有電場(chǎng)，帶電粒子做勻速直線運(yùn)動(dòng)。

帶電粒子沿x軸方向的分速度大小為

⑤

帶電粒子離開電場(chǎng)時(shí)沿y軸負(fù)方向的分速度大小為

⑥

帶電粒子離開電場(chǎng)時(shí)的速度大小為

⑦

設(shè)帶電粒子離開電場(chǎng)進(jìn)入磁場(chǎng)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為R，則有

⑧

聯(lián)立③⑤⑥⑦⑧式解得

⑨

（3）2t₀時(shí)刻進(jìn)入兩板間的帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間最短。帶電粒子離開電場(chǎng)時(shí)沿y軸正方向的分速度為

v_y′=at₀⑩

設(shè)帶電粒子離開電場(chǎng)時(shí)速度方向與y軸正方向的夾角為α，則

聯(lián)立③⑤⑩式解得

帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示，圓弧所對(duì)的圓心角，所求最短時(shí)間為

帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的周期為

聯(lián)立式得