Question

6．閱讀以下信息：
①2013年12月2日1時(shí)30分，“嫦娥三號(hào)”在西昌衛(wèi)星發(fā)射中心發(fā)射，經(jīng)過19分鐘的飛行后，火箭把“嫦娥三號(hào)”送入近地點(diǎn)高度210千米、遠(yuǎn)地點(diǎn)高度約36.8萬千米的地月轉(zhuǎn)移軌道．“嫦娥三號(hào)”奔月的近似軌跡如圖所示．
②經(jīng)過地月轉(zhuǎn)移軌道上的長途飛行后，“嫦娥三號(hào)”在距月面高度約100千米處成功變軌，進(jìn)入環(huán)月圓軌道．在該軌道上運(yùn)行了約4天后，再次成功變軌，進(jìn)入近月點(diǎn)高度15千米、遠(yuǎn)月點(diǎn)高度100千米的橢圓軌道．
③2013年12月14日晚21時(shí)，隨著首次應(yīng)用于中國航天器的空間變推力發(fā)動(dòng)機(jī)開機(jī)，沿橢圓軌道通過近月點(diǎn)的“嫦娥三號(hào)”從每秒鐘1.7千米的速度實(shí)施動(dòng)力下降．
④2013年12月14日21時(shí)11分，“嫦娥三號(hào)”成功實(shí)施軟著陸．
⑤開普勒行星運(yùn)動(dòng)第三定律指出：行星繞太陽運(yùn)動(dòng)的橢圓軌道的半長軸a的三次方與它的公轉(zhuǎn)周期T的二次方成正比，即$\frac{{a}^{3}}{{T}^{2}}$=k，k是一個(gè)對(duì)所有行星都相同的常量．該定律適用于一切具有中心天體的引力系統(tǒng)．
⑥月球的質(zhì)量M=7.35×10²²kg，半徑R=1.74×10³km；月球繞地球運(yùn)行的軌道半長軸a₀=3.82×10⁵km，月球繞地球運(yùn)動(dòng)的周期T₀=27.3d（d表示天）；質(zhì)量為m的物體在距離月球球心r處具有的引力勢能E_P=-G$\frac{Mm}{r}$，引力常量G=6.67×10^-11N•m²/kg²；地球的半徑R₀=6.37×10³km．
根據(jù)以上信息，請(qǐng)估算：
（1）“嫦娥三號(hào)”在100km環(huán)月圓軌道上運(yùn)行時(shí)的速率v；
（2）“嫦娥三號(hào)”在橢圓軌道上通過遠(yuǎn)月點(diǎn)時(shí)的速率v_遠(yuǎn)；
（3）“嫦娥三號(hào)”沿地月轉(zhuǎn)移軌道運(yùn)行的時(shí)間t．

Answer 1

分析 （1）萬有引力提供嫦娥三號(hào)圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，據(jù)此求得嫦娥三號(hào)的運(yùn)行速率；
（2）嫦娥三號(hào)在橢圓軌道上運(yùn)行時(shí)只有引力對(duì)其做功，滿足機(jī)械能守恒，根據(jù)機(jī)械能守由近月點(diǎn)速度和勢能表達(dá)式求得遠(yuǎn)月點(diǎn)的速度；
（3）根據(jù)開普勒行星運(yùn)動(dòng)定律由月球半長軸和周期及地月轉(zhuǎn)移軌道的半長軸求得在地月轉(zhuǎn)移軌道上的周期，而沿地月轉(zhuǎn)移軌道上運(yùn)動(dòng)半個(gè)周期，據(jù)此求得運(yùn)行時(shí)間．

解答 解：（1）據(jù)萬有引力提供圓周運(yùn)動(dòng)向心力有：
$G\frac{mM}{（R+h）^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{R+h}$
得：v=$\sqrt{\frac{GM}{R+h}}$=$\sqrt{\frac{6.67×1{0}^{-11}×7.35×1{0}^{22}}{1.74×1{0}^{6}+100×1{0}^{3}}}m/s$=1.63×10³m/s=1.63km/s
（2）嫦娥三號(hào)在橢圓軌道上運(yùn)動(dòng)時(shí)只受月球引力作用滿足機(jī)械能守恒，由題意知嫦娥三號(hào)在近月點(diǎn)的速度v_近=1.7km/s=1700m/s
根據(jù)機(jī)械能守恒有：$\frac{1}{2}m{v}_{近}^{2}+（-G\frac{Mm}{{r}_{近}}）=\frac{1}{2}m{v}_{遠(yuǎn)}^{2}+（-\frac{GMm}{{r}_{遠(yuǎn)}}）$
代入數(shù)據(jù)解得：v_遠(yuǎn)=1600m/s=1.6km/s
（3）由題意知，地月轉(zhuǎn)移軌道的半長軸為：R=$\frac{210+36.8×1{0}^{4}}{2}km=184105km$
嫦娥三號(hào)在地月轉(zhuǎn)移軌道上運(yùn)運(yùn)動(dòng)半個(gè)周期到達(dá)月球，根據(jù)開普勒行星運(yùn)動(dòng)定律有：
$\frac{{R}^{3}}{{T}^{2}}=\frac{{a}_{0}^{3}}{{T}_{0}^{2}}$
得：$T=\sqrt{（\frac{R}{{a}_{0}}）^{3}}{T}_{0}$=${\sqrt{（\frac{184105}{3.82×1{0}^{5}}）}}^{3}×27.3d$≈9.6d
故嫦娥三號(hào)運(yùn)動(dòng)$\frac{1}{2}T$，即運(yùn)動(dòng)時(shí)間為：t=$\frac{1}{2}T$=4.8d
答：（1）“嫦娥三號(hào)”在100km環(huán)月圓軌道上運(yùn)行時(shí)的速率v為1.63km/s；
（2）“嫦娥三號(hào)”在橢圓軌道上通過遠(yuǎn)月點(diǎn)時(shí)的速率v_遠(yuǎn)為1.6km/s；
（3）“嫦娥三號(hào)”沿地月轉(zhuǎn)移軌道運(yùn)行的時(shí)間t為4.8天．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵是有效的抓取題目中給出的有效信息，能根據(jù)物理模型找出解決問題的思路，從能量解度、開普勒行星運(yùn)動(dòng)定律和萬有引力定律提供圓周運(yùn)動(dòng)向心力展開討論即可．