Question

15．如圖所示，豎直放置固定的光滑半圓形軌道與光滑水平面AB相切于B點(diǎn)，半圓形軌道的最高點(diǎn)為C．輕彈簧一端固定在豎直擋板上，另一端有一質(zhì)量m=0.1kg的小球（小球與彈簧不拴接）．用力將小球向左推，小球?qū)�彈簧壓縮一定量時(shí)，用輕繩固定住，此時(shí)彈簧的彈性勢(shì)能E_p=5J，燒斷細(xì)繩，彈簧將小球彈出．取g=10m/s²．求
（1）小球運(yùn)動(dòng)至B點(diǎn)時(shí)速度v_B的大小；
（2）若軌道半徑R=1.6m，小球通過(guò)最高點(diǎn)C后落到水平面上的水平距離x；
（3）欲使小球能通過(guò)最高點(diǎn)C，則半圓形軌道的最大半徑R_m．

Answer 1

分析 （1）彈簧釋放過(guò)程，小球與彈簧組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒，即可求出小球獲得的初速度，從而得到小球運(yùn)動(dòng)至B點(diǎn)時(shí)速度v_B的大��；
（2）小球從B到C的過(guò)程，小球的機(jī)械能守恒，由此求出小球通過(guò)C點(diǎn)的速度．小球離開(kāi)C點(diǎn)后做平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律求水平距離x．
（3）在C點(diǎn)，由重力和軌道的彈力的合力提供向心力．結(jié)合機(jī)械能守恒定律求極值．

解答 解：（1）彈簧釋放過(guò)程，根據(jù)能量守恒得           
  E_P=$\frac{1}{2}m{V_B}^2$ ①
由①式得 v_B=10m/s           ②
（2）小球從B到C的過(guò)程，根據(jù)機(jī)械能守恒定律可得      
  $\frac{1}{2}m{V_B}^2$=$\frac{1}{2}m{V_C}^2$+mg2R    ③
根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)得            
  2R=$\frac{1}{2}g{t^2}$ ④
  x=v_Ct ⑤
由③④⑤聯(lián)立得      x=4.8m     ⑥
（3）根據(jù)牛頓第二定律得            
  mg=$m\frac{{{V_C}{'^2}}}{R_m}$ ⑦
根據(jù)能量守恒得                
  $\frac{1}{2}m{V_B}^2$=$\frac{1}{2}m{V_C}{'^2}$+mg•2R_m ⑧
由 ⑦⑧聯(lián)立得  R_m=2m          ⑨
答：
（1）小球運(yùn)動(dòng)至B點(diǎn)時(shí)速度v_B的大小是10m/s；
（2）若軌道半徑R=1.6m，小球通過(guò)最高點(diǎn)C后落到水平面上的水平距離x是4.8m；
（3）欲使小球能通過(guò)最高點(diǎn)C，則半圓形軌道的最大半徑R_m是2m．

點(diǎn)評(píng) 本題是機(jī)械能守恒、牛頓第二定律和平拋運(yùn)動(dòng)的綜合，要掌握力學(xué)基本規(guī)律，明確圓周運(yùn)動(dòng)最高點(diǎn)的臨界條件：重力等于向心力．