Question

13．如圖，在區(qū)域Ⅰ（即y≥0）和區(qū)域Ⅱ（即y＜0）內(nèi)分別存在勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)方向相同且垂直于Oxy平面，區(qū)域Ⅰ磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度是區(qū)域Ⅱ磁場(chǎng)感應(yīng)強(qiáng)度的2倍，一帶電粒子某時(shí)刻從y軸的A點(diǎn)以速度v斜射入磁場(chǎng)，在磁場(chǎng)中順時(shí)針偏轉(zhuǎn)后在y軸的B點(diǎn)射出，射出時(shí)速度的方向與y軸垂直．已知A點(diǎn)、B點(diǎn)到O點(diǎn)的距離均為d．不計(jì)粒子重力
（1）求帶電粒子在區(qū)域Ⅰ、Ⅱ運(yùn)動(dòng)的半徑之比是多少？
（2）求帶電粒子由A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)的時(shí)間是多少？
（3）若帶電粒子仍從A點(diǎn)以原來(lái)的方向斜射入磁場(chǎng)，但速度的大小變?yōu)?v，試求帶電粒子經(jīng)過(guò)x軸的所有點(diǎn)中離坐標(biāo)原點(diǎn)O最近的距離是多少？

Answer 1

分析 （1）粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律列式求解半徑之比；
（2）結(jié)合幾何關(guān)系畫(huà)出運(yùn)動(dòng)軌跡，得到軌道半徑，求解運(yùn)動(dòng)時(shí)間；
（3）若帶電粒子仍從A點(diǎn)以原來(lái)的方向斜射入磁場(chǎng)，但速度的大小變?yōu)?v，則在兩個(gè)區(qū)域的軌道半徑均變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，分別為2d、4d；畫(huà)出運(yùn)動(dòng)軌跡，得到最近距離．

解答 解：（1）粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，故：
qv（2B）=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，
qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，
故$\frac{R}{r}=\frac{1}{2}$
（2）粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，畫(huà)出軌跡如圖，

圖中AC為第一象限的軌跡的直徑，A為第四象限中軌跡的圓心；
結(jié)合幾何關(guān)系，有：R=a，r=2a，θ=60°=$\frac{π}{3}$
帶電粒子由A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)的時(shí)間：
t=$\frac{πR+\frac{π}{3}r}{v}$=$\frac{5πa}{3v}$
（3）帶電粒子仍從A點(diǎn)以原來(lái)的方向斜射入磁場(chǎng)，但速度的大小變?yōu)?v，根據(jù)公式r=$\frac{mv}{qB}$，在兩個(gè)區(qū)域的軌道半徑均變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，分別為2d、4d；
畫(huà)出粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡，如圖所示：

結(jié)合幾何關(guān)系，粒子經(jīng)過(guò)x軸的所有點(diǎn)中離坐標(biāo)原點(diǎn)O最近的距離為：
d_min=2a-atan60°=（2-$\sqrt{3}$）a≈0.3a
答：（1）帶電粒子在區(qū)域Ⅰ、Ⅱ運(yùn)動(dòng)的半徑之比是1：2；
（2）帶電粒子由A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)的時(shí)間是$\frac{5πa}{3v}$；
（3）帶電粒子經(jīng)過(guò)x軸的所有點(diǎn)中離坐標(biāo)原點(diǎn)O最近的距離是0.3a．

點(diǎn)評(píng) 本題是粒子在組合磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)情況，關(guān)鍵明確粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，找出圓心，確定半徑，畫(huà)出軌跡，不難．