Question

4．宇宙空間中有兩個(gè)星球，繞同一圓心做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，天文觀測(cè)到它們之間的距離恒為l，運(yùn)動(dòng)周期為T，不考慮其它星體的影響，由此可得出（　�。�

• A． 每個(gè)星球的軌道半徑
• B． 兩個(gè)星球的總質(zhì)量
• C． 每個(gè)星球的密度
• D． 每個(gè)星球的質(zhì)量

Answer 1

分析 雙星靠相互間的萬(wàn)有引力提供向心力，具有相同的角速度，對(duì)${m}_{1}^{\;}、{m}_{2}^{\;}$分別運(yùn)用牛頓第二定律列出動(dòng)力學(xué)方程

解答 解：設(shè)兩星球的質(zhì)量分別為${m}_{1}^{\;}$和${m}_{2}^{\;}$，${m}_{1}^{\;}$的軌道半徑為${R}_{1}^{\;}$，${m}_{2}^{\;}$的軌道半徑為${R}_{2}^{\;}$，由于它們之間的距離恒定，因此雙星在空間的繞向一定相同，同時(shí)角速度和周期也都相同，由向心力公式可得：
對(duì)${m}_{1}^{\;}$：$G\frac{{m}_{1}^{\;}{m}_{2}^{\;}}{{l}_{\;}^{2}}={m}_{1}^{\;}\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}{R}_{1}^{\;}$①
對(duì)${m}_{2}^{\;}$：$G\frac{{m}_{1}^{\;}{m}_{2}^{\;}}{{l}_{\;}^{2}}={m}_{2}^{\;}\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}{R}_{2}^{\;}$②
由①得$G\frac{{m}_{2}^{\;}}{{l}_{\;}^{2}}=\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}{R}_{1}^{\;}$③
由②得$G\frac{{m}_{1}^{\;}}{{l}_{\;}^{2}}=\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}{R}_{2}^{\;}$④
③+④得$G\frac{{m}_{1}^{\;}+{m}_{2}^{\;}}{{l}_{\;}^{2}}=\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}（{R}_{1}^{\;}+{R}_{2}^{\;}）$⑤
因?yàn)?{m}_{1}^{\;}+{m}_{2}^{\;}={m}_{總}(cāng)^{\;}$，${R}_{1}^{\;}+{R}_{2}^{\;}=l$⑥
⑥代入⑤式得${m}_{總}(cāng)^{\;}=\frac{4{π}_{\;}^{2}{l}_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}}$
由上面的分析知，ACD錯(cuò)誤，每個(gè)星球的軌道半徑無(wú)法求解，每個(gè)星球總質(zhì)量無(wú)法求解，每個(gè)星球的密度無(wú)法求解，只能求出兩個(gè)星球的總質(zhì)量，故B正確．
故選：B

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵是知道雙星利用它們之間的萬(wàn)有引力提供各自做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，兩星旋轉(zhuǎn)的角速度和周期相同．