Question

8．如圖所示，地球半徑為R，O為球心，A為地球表面上的點(diǎn)，B為0、A連線間的中點(diǎn)．設(shè)想在地球內(nèi)部挖掉一以B為圓心，半徑為$\frac{R}{4}$的球，忽略地球自轉(zhuǎn)影響，將地球視為質(zhì)量分布均勻的球體．則挖出球體后A點(diǎn)的重力加速度與挖去球體前的重力加速度之比為（　　）

• A． $\frac{15}{16}$
• B． $\frac{31}{32}$
• C． $\frac{3}{4}$
• D． $\frac{1}{3}$

Answer 1

分析 挖去以B為圓心，半徑為$\frac{R}{4}$的球前，地球表面的重力等于萬(wàn)有引力大小，挖去后，表面物體的重力等于原來(lái)地球?qū)ξ矬w的引力與半徑為$\frac{R}{4}$的球?qū)ξ矬w的引力之差，結(jié)合質(zhì)量和密度的關(guān)系求出挖出球體后A點(diǎn)的重力加速度與挖去球體前的重力加速度之比．

解答 解：挖前，質(zhì)量為m的物體在A點(diǎn)受到的重力$mg=G\frac{Mm}{{R}^{2}}$，
挖去后質(zhì)量為M′的球體后在A點(diǎn)受到的重力$mg′=G\frac{Mm}{{R}^{2}}-G\frac{M′m}{（\frac{R}{2}）^{2}}$，
$M=ρ\frac{4}{3}π{R}^{3}$，$M′=ρ\frac{4}{3}π（\frac{R}{4}）^{3}$，
聯(lián)立各式解得$\frac{g′}{g}=\frac{15}{16}$．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵知道挖去球后，地球表面物體的重力等于原來(lái)未挖去前所受的引力減去挖去部分對(duì)物體引力之差，這是解決本題的關(guān)鍵突破口．