Question

【題目】回旋加速器是用來加速帶電粒子的裝置，圖20為回旋加速器的示意圖。D1、D2是兩個中空的鋁制半圓形金屬扁盒，在兩個D形盒正中間開有一條狹縫，兩個D形盒接在高頻交流 電源上。在D1盒中心A處有粒子源，產生的帶正電粒子在兩盒之間被電場加速后進入D2盒中。兩個D形盒處于與盒面垂直的勻強磁場中，帶電粒子在磁場力的作用下做勻速圓周運動，經過半個圓周后，再次到達兩盒間的狹縫，控制交流電源電 壓的周期，保證帶電粒子經過狹縫時再次被加速。如此，粒子在做圓周運動的過程中一次一次地經過狹縫，一次一次地被加速，速度越來越大，運動半徑也越來越大，最后到達D形盒的邊緣，沿切線方向以最大速度被導出。已知帶電粒子的電荷量為q，質量為m，加速時狹縫間電壓大小恒為U，磁場的磁感應強度為B，D形盒的半徑為R狹縫之間的距離為d。設從粒子源產生的帶電粒子的初速度為零，不計粒子受到的重力，求：

(1)帶電粒子能被加速的最大動能Ek；

(2)盡管粒子在狹縫中每次加速的時間很短但也不可忽略。試計算上述正離子在某次加速過程當中從離開離子源到被第n次加速結束時所經歷的時間；

(3)設該正離子在電場中的加速次數(shù)與回旋半周的次數(shù)相同，試推證當R＞＞d時，正離子在電場中加速的總時間相對于在D形盒中回旋的時間可忽略不計（正離子在電場中運動時，不考慮磁場的影響）

(4)帶電粒子在D2盒中第n個半圓的半徑；

(5)若帶電粒子束從回旋加速器輸出時形成的等效電流為I，求從回旋加速器輸出的帶電粒 子的平均功率。

(6)實際使用中，磁感應強度和加速電場頻率都有最大值的限制。若某一加速器磁感應強度和加速電場頻率的最大值分別為Bm、fm，試討論粒子能獲得的最大動能Ekm。

(7)a粒子在第n次由D1盒進入D2盒與緊接著第n+1次由隊盒進入隊盒位置之間的距離△x；

(8)試推理說明：質子在回旋加速器中運動時，隨軌道半徑r的增大，同一盒中相鄰軌道的半徑之差△r是增大、減小還是不變？

Answer 1

【答案】(1)；(2)；(3) 當R＞＞d時，t1可忽略不計；(4)；(5)；(6)；(7)；

(8) r△rk+1＜△rk

【解析】

(1)回旋加速器是利用電場加速和磁場偏轉來加速粒子；經回旋加速器的最大速度由洛倫茲力提供向心力可求得由D形盒的半徑決定.

(2)回旋加速器是利用電場加速和磁場偏轉來加速粒子，根據(jù)動能定理求出n次加速后的速度，根據(jù)勻變速直線運動的速度時間公式求出加速的時間，再求出粒子偏轉的次數(shù)，從而得出在磁場中偏轉的時間，兩個時間之和即為離開離子源到被第n次加速結束時所經歷的時間．

(3)在電場中的總的運動可以看做連續(xù)的勻加速直線運動，故根據(jù)平均速度公式可得在電場中運動時間;而每加速一次，做半個圓周運動，則磁場中的運動時間等于圈數(shù)乘以磁場中運動的周期.

(4)粒子被加速一次所獲得的能量為qU，求出第n次加速后的動能, 進而可求出第n個半圓的半徑.

(5)根據(jù)電流的定義式和功率表示式求解.

(6)根據(jù)洛侖茲提供向心力，求出最大動能與磁感應強度的關系以及與加速電壓頻率的關系，然后分情況討論出最大動能的關系.

(7)回旋加速器是利用電場加速和磁場偏轉來加速粒子，根據(jù)動能定理求出n次加速后的速度，求出軌道半徑，抓住規(guī)律，求出△x．

(8)求出rk所對應的加速次數(shù)和rk+1所對應的加速次數(shù)即可求出它們所對應的軌道半徑，然后作差即可求出rk和rk+1，從而求出△rk，運用同樣的方法求出△rk+1，比較△rk和△rk+1即可得出答案.

(1)帶電粒子在D形盒內做圓周運動，軌道半徑達到最大時被引出，此時帶電粒子具有最大動能Ek，設離子從D盒邊緣離開時的速度為vm.依據(jù)牛頓第二定律：Bqvm= m

所以帶電粒子能被加速的最大動能：Ek==

(2)設正離子經過窄縫被第n次加速加速后的速度為vn，由動能定理得：nqU=

粒子在狹縫中經n次加速的總時間：

由牛頓第二定律：

由以上三式解得電場對粒子加速的時間：

正離子在磁場中做勻速圓周運動，由牛頓第二定律Bqv=m 又T=

粒子在磁場中做圓周運動的時間t2=（n-1）

由以上三式解得:t2=

所以， 離子從離開離子源到被第n次加速結束時所經歷的時間

t=t1+t2=d

(3)設粒子飛出的末速度為v，將多次電場加速等效為一次從0到v的勻加速直線運動.

在電場中t1=， 在d形盒中回旋周期與速度v無關，在D形盒中回旋最后半周的時間為，

在D形盒中回旋的總時間為t1=n

故＜＜1

即當R＞＞d時，t1可忽略不計.

(4)帶電粒子在D2盒中第n個半圓是帶電粒子經過窄縫被加速2n-1次后的運動軌道，設其被加速2n-1次后的速度為vn由動能定理得:（2n-1）qU =

此后帶電粒子在磁場中做勻速圓周運動，半徑為rn,由牛頓第二定律得Bqvn=m

得：

(5)設在時間t內離開加速器的帶電粒子數(shù)N，則正離子束從回旋加速器輸出時形成的的等效電流I=，

解得:N=

帶電粒子從回旋加速器輸出時的平均功率=

(6)加速電場的頻率應等于粒子在磁場中做圓周運動的頻率，即

當磁場感應強度為Bm時，加速電場的頻率應為

粒子的動能

當≤時，粒子的最大動能由Bm決定 qvmBm=m

解得Ekm=

當≥時，粒子的最大動能由fm決定,vm=2πfmR

解得Ekm=

(7)離子經電場第1次加速后，以速度v1進入D2盒，設軌道半徑為r1，

r1=

離子經第2次電場加速后，以速度v2進入D1盒，設軌道半徑為r2,

軌道半徑：r2= ……

離子第n次由D1盒進入D2盒，離子已經過（2n-1）次電場加速，以速度v2-1進入D2盒，由動能定理：（2n-1）Uq=

軌道半徑：rn=

離子經第n+1次由D1盒進入D2盒，離子已經過2n次電場加速，以速度v2n進入D1盒，由動能定理：2nUq=

軌道半徑：rn+1=

則:

如圖所示:

(8)設k為同一盒子中質子運動軌道半徑的序數(shù)，相鄰的軌道半徑分別為rk，rk+1（rk＜rk+1）， △rk= rk+1 -rk，在相應軌道上質子對應的速度大小分別為vk，vk+1，D1、D2之間的電壓為U，

由動能定理知2qU= ⑦

由洛倫茲力充當質子做圓周運動的向心力，知rk=，

則2qU= ⑧

整理得:△rk ⑨

相鄰軌道半徑rk+1，rk+2之差△rk+1=rk+2- rk+2

同理△rk+1=

因U、q、m、B均為定值，且因為rk+2＞rk，比較△rk與△rk+1 得:△rk+1＜△rk