Question

14．一輛質(zhì)量為1000kg的汽車(chē)在圓弧半徑為50m的拱橋上行駛．（g取10m/s²）
（1）若汽車(chē)到達(dá)橋頂時(shí)速度為v₁=5m/s，汽車(chē)對(duì)橋面的壓力是多大？
（2）汽車(chē)以多大速度經(jīng)過(guò)橋頂時(shí)，恰好對(duì)橋面沒(méi)有壓力？
（3）汽車(chē)對(duì)橋面的壓力過(guò)小是不安全的，因此汽車(chē)過(guò)橋時(shí)的速度不能過(guò)大．對(duì)于同樣的車(chē)速，拱橋圓弧的半徑大些比較安全，還是小些比較安全？
（4）如果拱橋的半徑增大到與地球半徑一樣大，汽車(chē)要在橋面上騰空，速度至少為多大？（已知地球半徑為6 400km）

Answer 1

分析 （1）在最高點(diǎn)重力和支持力的合力提供向心力，根據(jù)向心力公式和牛頓第二定律可列式求解；
（2）汽車(chē)對(duì)橋恰好無(wú)壓力，重力完全提供向心力，根據(jù)向心力公式和牛頓第二定律可列式求解；
 （3）根據(jù)（1）可知；
（4）根據(jù)重力提供向心力求出汽車(chē)的速度，半徑為地球半徑．

解答 解：（1）如圖所示，汽車(chē)到達(dá)橋頂時(shí)，豎直方向受到重力G和橋?qū)λ�的支持力N的作用．

汽車(chē)對(duì)橋頂?shù)膲毫Υ笮〉扔跇蝽攲?duì)汽車(chē)的支持力N，汽車(chē)過(guò)橋時(shí)做圓周運(yùn)動(dòng)，重力和支持力的合力提供向心力，即F=G-N；
根據(jù)向心力公式：F=$\frac{m{v}^{2}}{R}$，有N=G-F=mg-m$\frac{{v}^{2}}{R}$=10000-1000×$\frac{{5}^{2}}{50}$=5000N．
故汽車(chē)對(duì)橋的壓力是5000N．
（2）汽車(chē)經(jīng)過(guò)橋頂恰好對(duì)橋沒(méi)有壓力而騰空，則N=0，即汽車(chē)做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力完全由其自身重力來(lái)提供，所以有：
F=G=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，得v=$\sqrt{gR}$=$\sqrt{10×50}$=10$\sqrt{5}$m/s．
故汽車(chē)以10$\sqrt{5}$m/s速度經(jīng)過(guò)橋頂時(shí)便恰好對(duì)橋沒(méi)有壓力而騰空．
（3）根據(jù)N=G-F=mg-m$\frac{{v}^{2}}{R}$知R越大，壓力N越大，故拱橋圓弧的半徑大些比較安全；
（4）由G=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，得v=$\sqrt{gR}$=$\sqrt{10×6400×1{0}^{3}}$=8×10³m/s
答：（1）若汽車(chē)到達(dá)橋頂時(shí)速度為v₁=5m/s，汽車(chē)對(duì)橋面的壓力是5000N；
（2）汽車(chē)以10$\sqrt{5}$m/s經(jīng)過(guò)橋頂時(shí)，恰好對(duì)橋面沒(méi)有壓力；
（3）汽車(chē)對(duì)橋面的壓力過(guò)小是不安全的，因此汽車(chē)過(guò)橋時(shí)的速度不能過(guò)大．對(duì)于同樣的車(chē)速，拱橋圓弧的半徑大些比較安全．
（4）如果拱橋的半徑增大到與地球半徑一樣大，汽車(chē)要在橋面上騰空，速度至少為8×10³m/s；

點(diǎn)評(píng) 本題關(guān)鍵找出車(chē)經(jīng)過(guò)橋的最高點(diǎn)時(shí)的向心力來(lái)源，然后根據(jù)牛頓第二定律和向心力公式列式求解．