Question

3．如圖所示，極地衛(wèi)星的運(yùn)行軌道平面通過地球的南北兩極（軌道可視為圓軌道、地球看作球體）．若已知一個極地衛(wèi)星從北緯30°的正上方，按圖示方向第一次運(yùn)行至赤道正上方時所用的時間為0.25h（緯度是指某點與地球球心的連線和地球赤道面所成的線面角）．求：
（1）該極地衛(wèi)星運(yùn)行的周期；
（2）同步衛(wèi)星的線速度v₁和極地衛(wèi)星的線速度v₂之比．

Answer 1

分析 根據(jù)極地衛(wèi)星的運(yùn)動軌跡，判斷極地衛(wèi)星的周期，衛(wèi)星運(yùn)動的向心力由地球?qū)πl(wèi)星的萬有引力提供，解出衛(wèi)星的周期與軌道半徑的關(guān)系和線速度與軌道板機(jī)的關(guān)系，據(jù)此進(jìn)行解答

解答 解：（1）從北緯30°的正上方按圖示方向第一次運(yùn)行至赤道正上方轉(zhuǎn)過的圓心角為θ=$\frac{π}{6}$，用時0.25h，故該極地衛(wèi)星的周期為：
T₂=0.25×$\frac{2π}{\frac{π}{6}}$=3h．
（2）同步衛(wèi)星的周期為T₁=24h，
由牛頓第二定律得：G$\frac{Mm}{{r}^{2}}$=m$\frac{{v}^{2}}{r}$得：v=$\sqrt{\frac{GM}{r}}$
可得：$\frac{{v}_{1}}{{v}_{2}}$=$\sqrt{\frac{{r}_{2}}{{r}_{1}}}$
由開普勒定律知：$\frac{{T}_{1}^{3}}{{T}_{2}^{3}}=\frac{{r}_{1}^{3}}{{r}_{2}^{3}}$=64
故有：$\frac{{r}_{1}}{{r}_{2}}$=$\frac{4}{1}$
解得：$\frac{{v}_{1}}{{v}_{2}}$=$\frac{2}{1}$
答：（1）該極地衛(wèi)星運(yùn)行的周期為3h
（2）同步衛(wèi)星的線速度v₁和極地衛(wèi)星的線速度v₂之比為2：1

點評 衛(wèi)星的線速度v=$\sqrt{\frac{GM}{r}}$．靈活運(yùn)運(yùn)用萬有引力提供圓周運(yùn)動的向心力，要能夠熟練的解出軌道半徑與周期和線速度的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵