Question

9．近代的材料生長(zhǎng)和微加工技術(shù)，可制造出一種使電子的運(yùn)動(dòng)限制在半導(dǎo)體的一個(gè)平面內(nèi)（二維）的微結(jié)構(gòu)器件，且可做到電子在器件中像子彈一樣飛行，不受雜質(zhì)原子射散的影響．這種特點(diǎn)可望有新的應(yīng)用價(jià)值．圖1所示為四端十字形，二維電子氣半導(dǎo)體，當(dāng)電流從l端進(jìn)入時(shí)，通過控制磁場(chǎng)的作用，可使電流從 2、3或4端流出．對(duì)下面摸擬結(jié)構(gòu)的研究，有助于理解電流在上述四端十字形導(dǎo)體中的流動(dòng)．在圖2中，a、b、c、d為四根半徑都為R的圓柱體的橫截面，彼此靠得很近，形成四個(gè)寬度極窄的狹縫1、2、3、4，在這些狹縫和四個(gè)圓柱所包圍的空間（設(shè)為真空）存在勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)方向垂直于紙面向里．一個(gè)質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電的粒子，由靜止經(jīng)電場(chǎng)加速后，在紙面內(nèi)以速度v₀沿與a、b都相切的方向由縫1射入磁場(chǎng)內(nèi)，與其中一個(gè)圓柱表面發(fā)生一次彈性碰撞（碰撞無(wú)機(jī)械能損失），從縫2處且沿與b、c都相切的方向射出，碰撞時(shí)間極短，且碰撞不改變粒子的電荷量，也不受摩擦力作用，重力忽略不計(jì)．加速電場(chǎng)兩板間距為d，兩極板厚度不計(jì)且其右極板與圓柱a、b同時(shí)相切．

（1）求加速電場(chǎng)電壓U．
（2）求磁感應(yīng)強(qiáng)度B．
（3）求從由靜止加速到從縫2射出所用的時(shí)間t．

Answer 1

分析 （1）在電場(chǎng)中加速，根據(jù)動(dòng)能動(dòng)能定理計(jì)算速度的大小；
（2）粒子從縫1進(jìn)入磁場(chǎng)，在洛侖茲力作用下作圓周運(yùn)動(dòng)，圓軌道在原點(diǎn)與x軸相切，故其圓心必在y軸上．由數(shù)學(xué)知識(shí)得到軌跡圓的方程，由幾何知識(shí)得到碰撞處的坐標(biāo)與R的關(guān)系式，聯(lián)立求解得到r；然后由牛頓第二定律列方程得到B；
（3）利用圓周運(yùn)動(dòng)的周期來(lái)計(jì)算運(yùn)動(dòng)時(shí)間；

解答 解：（1）粒子由靜止在電場(chǎng)中加速：$qU=\frac{1}{2}m{v}^{2}$…（1）
解得：$U=\frac{m{v}^{2}}{2q}$…（2）
（2）在圖中紙面內(nèi)取Oxy坐標(biāo)（如圖），原點(diǎn)在狹縫l處，x軸過縫1和縫3．粒子從縫1進(jìn)入磁場(chǎng)，在洛侖茲力作用下作圓周運(yùn)動(dòng)，圓軌道在原點(diǎn)與x軸相切，故其圓心必在y軸上．若以r表示此圓的半徑，則圓方程為：
x²+（ r-y）²=r²…（3）
根據(jù)題的要求和對(duì)稱性可知，粒子在磁場(chǎng)中作圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)應(yīng)與d，的柱面相碰于縫3、4間的圓弧中點(diǎn)處，碰撞處的坐標(biāo)為：
x=2R-Rsin45°…（4）
y=R-R cos45°…（5）
由（3）、（4）、（5）式得：r=3R…（6）
由3456式可寫為由數(shù)學(xué)幾何知識(shí)可得：r=3R，
由洛侖茲力和牛頓定律有：qv₀B=m$\frac{{{v}_{0}}^{2}}{r}$…（7）
由（6）、（7）式得：B=$\frac{m{v}_{0}}{3qR}$…（8）
（3）在電場(chǎng)中加速用時(shí)：${t}_{1}=\fracqbbuuml{\frac{{v}_{0}}{2}}$…9）
在磁場(chǎng)中轉(zhuǎn)過兩段圓弧，設(shè)每段圓弧對(duì)應(yīng)圓心角為θ有：$sinθ=\frac{x}{r}$…（10）
且磁場(chǎng)中用時(shí)：${t}_{2}=\frac{2rθ}{{v}_{0}}$…（11）
${t}_{3}=\frac{R}{{v}_{0}}$…（12）
總共用時(shí)：t=t₁+t₂+t₃…（13）
由（4）、（9）、（10）、（11）、（12）式得：
$t=\frac{2d+6Rarcsin\frac{4-\sqrt{2}}{6}}{{v}_{0}}+\frac{R}{{v}_{0}}$…（14）
答：（1）加速電場(chǎng)電壓U為$\frac{m{v}^{2}}{2q}$．
（2）磁感應(yīng)強(qiáng)度B為$\frac{m{v}_{0}}{3qR}$．
（3）由靜止加速到從縫2射出所用的時(shí)間t為$\frac{2d+6Rarcsin\frac{4-\sqrt{2}}{6}}{{v}_{0}}+\frac{R}{{v}_{0}}$．

點(diǎn)評(píng) 帶電粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，一般應(yīng)先明確粒子運(yùn)動(dòng)的圓心和半徑，再根據(jù)題意作出帶電子的可能的運(yùn)動(dòng)軌跡；再根據(jù)幾何關(guān)系及相應(yīng)的數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行求解，一般作為壓軸題呈現(xiàn)，難度較大．