Question

16．如圖，光滑平臺(tái)左端與半徑R=0.6m的半圓光滑軌道相切，且都固定．平臺(tái)上A、B兩滑塊間壓縮有一輕質(zhì)彈簧（用細(xì)線拴住），其中m_A=1.5kg，m_B=1kg．緊靠平臺(tái)右側(cè)放有M=4kg的木板，其上表面與平臺(tái)等高．剪斷細(xì)線后，B以v_B=9m/s的速度沖上木板．已知B與木板間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ₁=0.5，木板與地面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ₂，兩滑塊都可看作質(zhì)點(diǎn)，不考慮A與B分離后再對(duì)B運(yùn)動(dòng)的影響，取g=10m/s²．求：
（1）A滑至半圓軌道最高點(diǎn)Q時(shí)，軌道對(duì)其壓力的大��；
（2）要保證B不滑出木板，木板的最短長(zhǎng)度記為L(zhǎng)．試討論并求出μ₂與L的關(guān)系式，求出L的最小值．

Answer 1

分析 1、對(duì)AB滑塊，由動(dòng)量守恒定律得分離時(shí)的速度，根據(jù)動(dòng)能定理得出在Q點(diǎn)速度，再根據(jù)牛頓第二定律求解
2、根據(jù)的μ₂大小進(jìn)行分類討論，μ₂較大，長(zhǎng)木板靜止不動(dòng)； 滑塊B在木板上做勻減速運(yùn)動(dòng)，
μ₂較小，滑塊B先做勻減速，木板做勻加速，兩者共速后一起運(yùn)動(dòng)，不再發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)，根據(jù)牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求解．

解答 解：（1）對(duì)AB滑塊，規(guī)定向左為正方向，
由動(dòng)量守恒定律得：m_Av_p-m_Bv_B=0
可得：v_p=6m/s                                                    
A滑塊從P運(yùn)動(dòng)到Q，由動(dòng)能定理可得：
-2m_AgR=$\frac{1}{2}$m_A${v}_{Q}^{2}$-$\frac{1}{2}$m_A${v}_{p}^{2}$
在Q點(diǎn)由牛頓第二定律可得：F+m_Ag=m_A$\frac{{v}_{Q}^{2}}{R}$                         
解得F=15N                                                 
（2）若μ₂（M+m_B）g=μ₁m_Bg得：μ₂=0.1                               
討論：
①當(dāng)μ₂≥0.1，因μ₂（M+m_B）g≥μ₁m_Bg
 所以滑塊B在長(zhǎng)木板上滑動(dòng)時(shí)，長(zhǎng)木板靜止不動(dòng)； 滑塊B在木板上做勻減速運(yùn)動(dòng)，至長(zhǎng)木板右端時(shí)速度剛好為0．
滑塊B，根據(jù)牛頓第二定律得
a₁=μ₁g=5m/s²．
則木板長(zhǎng)度至少為L(zhǎng)=$\frac{{v}_{B}^{2}}{{2a}_{1}}$=8.1m                                  
②當(dāng)μ₂＜0.1，滑塊B先做勻減速，木板做勻加速，兩者共速v_共后一起運(yùn)動(dòng)，不再發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)，設(shè)共速時(shí)B恰好滑至板的最右端．
設(shè)經(jīng)時(shí)間t₀滑塊B和木板共速，則
木板，根據(jù)牛頓第二定律得
a₂=$\frac{{{{μ}_{1}m}_{B}g-μ}_{2}（{M+m}_{B}）g}{M}$=$\frac{5-5{0μ}_{2}}{4}$
滑塊B勻減速，根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式得
s₁=v_Bt₀-$\frac{1}{2}$a₁${t}_{0}^{2}$
v_共=v_B-a₁t₀
木板勻加速，根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式得
s₂=$\frac{1}{2}$a₂${t}_{0}^{2}$
v_共=a₂t₀
相對(duì)位移L=s₁-s₂                                    
聯(lián)立得L=$\frac{{v}_{B}^{2}}{2（{{a}_{1}+a}_{2}）}$=$\frac{2×81}{25-5{0μ}_{2}}$                               
所以μ₂越小，L越�。�當(dāng)μ₂=0時(shí)，L的值最�。�
將μ₂=0代入上式，
解得：L=6.48m                              
綜上分析：板長(zhǎng)的最短長(zhǎng)度L為6.48m
答：（1）A滑至半圓軌道最高點(diǎn)Q時(shí)，軌道對(duì)其壓力的大小是15N；
（2）當(dāng)μ₂≥0.1，木板長(zhǎng)度至少為8.1m，當(dāng)μ₂＜0.1，板長(zhǎng)的最短長(zhǎng)度L為6.48m．

點(diǎn)評(píng) 本題過程比較復(fù)雜，分析清楚物體運(yùn)動(dòng)過程是正確解題的前提與關(guān)鍵，確定研究對(duì)象與研究過程，應(yīng)用牛頓第二定律、運(yùn)動(dòng)學(xué)公式、動(dòng)量守恒定律、能量守恒定律即可正確解題．