Question

18．如圖所示，在xoy平面內(nèi)，MN與y軸平行，間距為d，其間有沿x軸負(fù)方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)．y軸左側(cè)有垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B₁，MN右側(cè)空間有垂直紙面的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，質(zhì)量為m，電荷量為q的粒子以v₀的速度從坐標(biāo)原點(diǎn)O沿x軸負(fù)方向射入磁場(chǎng)，經(jīng)過一段時(shí)間后再次回到坐標(biāo)原點(diǎn)，粒子在此過程中通過電場(chǎng)的總時(shí)間t_總=$\frac{4d}{3{v}_{0}}$，粒子重力不計(jì)，求：
（1）左側(cè)磁場(chǎng)區(qū)域的最小寬度
（2）電場(chǎng)區(qū)域電場(chǎng)強(qiáng)度的大小
（3）右側(cè)磁場(chǎng)區(qū)域?qū)挾燃按鸥袘?yīng)強(qiáng)度滿足的條件．

Answer 1

分析 （1）臨界情況是左側(cè)磁場(chǎng)區(qū)域的左邊界與軌跡相切，根據(jù)牛頓第二定律列式求解軌道半徑，得到左側(cè)磁場(chǎng)區(qū)域的最小寬度；
（2）粒子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間已知的，根據(jù)勻變速直線運(yùn)動(dòng)的速度公式列式求解加速度，根據(jù)牛頓第二定律列式求解電場(chǎng)強(qiáng)度；
（3）臨界情況是經(jīng)過右側(cè)磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)后在電場(chǎng)中沿著直線回到O點(diǎn)，也可以是在左側(cè)磁場(chǎng)中再運(yùn)動(dòng)半圈回到O點(diǎn)，結(jié)合幾何關(guān)系求解軌道半徑，根據(jù)牛頓第二定律列式求解即可．

解答 解：（1）粒子在磁場(chǎng)做圓周運(yùn)動(dòng)（半圈）
由$q{B}_{1}{v}_{0}=m\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$
軌道半徑：R=$\frac{m{v}_{0}}{q{B}_{1}}$
由幾何知識(shí)可知，左側(cè)磁場(chǎng)的最小寬度就是粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑
即${L}_{min}=R=\frac{m{v}_{0}}{q{B}_{1}}$
（2）粒子在電場(chǎng)中來回的總時(shí)間為${t}_{總}=\frac{4d}{3{v}_{0}}$，所以電場(chǎng)對(duì)帶電粒子單次通過的時(shí)間為t=$\frac{2d}{3{v}_{0}}$，顯然，粒子首次通過電場(chǎng)中是加速運(yùn)動(dòng)，粒子應(yīng)該帶負(fù)電．
由$d={v}_{0}t+\frac{1}{2}a{t}^{2}$
即$d={v}_{0}t+\frac{1}{2}\frac{qE}{m}{t}^{2}$
得到：E=$\frac{3m{v}_{0}^{2}}{2qd}$
（3）粒子在左側(cè)磁場(chǎng)中向下偏轉(zhuǎn)，通過電場(chǎng)加速后進(jìn)入右側(cè)磁場(chǎng)，要使其能夠回到原點(diǎn)，在右側(cè)磁場(chǎng)中應(yīng)向下偏轉(zhuǎn)，且偏轉(zhuǎn)半徑為R或2R，粒子加速通過電場(chǎng)加速后進(jìn)入右側(cè)磁場(chǎng)速度為v．
根據(jù)速度公式，有：
v=v₀+at=2v₀
根據(jù)牛頓第二定律，有：
qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$
解得：
r=$\frac{mv}{qB}$=$\frac{2m{v}_{0}}{qB}$
R=$\frac{m{v}_{0}}{q{B}_{1}}$
①當(dāng)半徑r=R時(shí)，則B=$\frac{2m{v}_{0}}{qR}$=2B₁           
右側(cè)磁場(chǎng)的最小寬度為${X}_{min}=R=\frac{m{v}_{0}}{q{B}_{1}}$      
②當(dāng)半徑r=2R時(shí)，B=$\frac{2m{v}_{0}}{qR}$=B₁            
右側(cè)磁場(chǎng)的最小寬度為${X}_{min}=r=\frac{2m{v}_{0}}{q{B}_{1}}$     
答：（1）左側(cè)磁場(chǎng)區(qū)域的最小寬度為$\frac{m{v}_{0}}{q{B}_{1}}$；
（2）電場(chǎng)區(qū)域電場(chǎng)強(qiáng)度的大小為$\frac{3m{v}_{0}^{2}}{2qd}$；
（3）右側(cè)磁場(chǎng)區(qū)域?qū)挾燃按鸥袘?yīng)強(qiáng)度滿足的條件為：①B=2B₁，${X}_{min}=\frac{m{v}_{0}}{q{B}_{1}}$；②B=B₁，${X}_{min}=\frac{2m{v}_{0}}{q{B}_{1}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題關(guān)鍵是明確粒子的受力情況和運(yùn)動(dòng)規(guī)律，找到臨界情況，然后根據(jù)牛頓第二定律、運(yùn)動(dòng)學(xué)公式并結(jié)合幾何關(guān)系列式分析，不難．