Question

19．如圖所示．水平傳送裝置由輪半徑均為R=$\frac{1}{π}$米的主動(dòng)輪O₁和從動(dòng)輪O₂及傳送帶等構(gòu)成．兩輪軸心相距L=8.0米，輪與傳送帶不打滑．現(xiàn)用此裝置運(yùn)送一袋面粉，已知面粉袋與傳送帶間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ=0.4，這袋面粉中間的面粉可不斷地從袋中滲出．
（1）當(dāng)傳送帶以v₀=4.0m/s的速度勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，將這袋面粉由左端O₂正上方的A點(diǎn)輕放在傳送帶上后，這袋面粉由A端運(yùn)送到O₁正上方的B端所用時(shí)間為多少？
（2）要想盡快將這帶面粉由A端送到B端（設(shè)初速度仍為零），傳送帶的速度至少應(yīng)為多大？
（3）由于面粉的滲漏，在運(yùn)送這袋面粉的過程中會(huì)在深色傳送帶上留下白色的面粉的痕跡．這袋面粉在傳送帶上留下的痕跡最長(zhǎng)能有多長(zhǎng)（設(shè)袋的初速度仍為零）？此時(shí)傳送帶的速度至少應(yīng)為多大？

Answer 1

分析 （1）面粉在傳送帶上先做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，當(dāng)速度達(dá)到傳送帶速度一起做勻速直線運(yùn)動(dòng)，結(jié)合牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出面粉由A端運(yùn)送到Q₁正上方的B端所用的時(shí)間．
（2）要想時(shí)間最短，面粉袋應(yīng)一直向B端做加速運(yùn)動(dòng)，根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出傳送帶的最小速度，從而根據(jù)v=ωR=2πnR求出主動(dòng)輪Q₁的轉(zhuǎn)速的最小值．
（3）傳送帶的速度越大，“痕跡”越長(zhǎng)．當(dāng)面粉的痕跡布滿整條傳送帶時(shí)，痕跡達(dá)到最長(zhǎng)．痕跡的長(zhǎng)度等于相對(duì)路程的大小，通過面粉袋的位移求出傳送帶的位移，通過時(shí)間求出主動(dòng)輪的最小速度，從而求出轉(zhuǎn)速的最小值．

解答 解：設(shè)面粉袋的質(zhì)量為m，其在與傳送帶產(chǎn)生相當(dāng)滑動(dòng)的過程中所受的摩擦力f=μmg．故而其加速度為：
a=$\frac{f}{m}$=μg=4.0m/s²
（1）若傳送速帶的速度v_帶=4.0m/s，則面粉袋加速運(yùn)動(dòng)的時(shí)間：${t}_{1}=\frac{{v}_{帶}}{a}=\frac{4.0}{4.0}=1.0$s，
在t₁時(shí)間內(nèi)的位移為：${s}_{1}=\frac{1}{2}a{t}_{1}^{2}=\frac{1}{2}×4.0×{1}^{2}=2.0$m，
其后以v=4.0m/s的速度做勻速運(yùn)動(dòng)s₂=l_AB-s₁=vt₂，
解得t₂=1.5s，
運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間為t=t₁+t₂=2.5s
（2）要想時(shí)間最短，m應(yīng)一直向B端做加速運(yùn)動(dòng)，由${l}_{AB}=\frac{1}{2}at{′}^{2}$
代入數(shù)據(jù)可得：t′=2.0s
此時(shí)傳送帶的運(yùn)轉(zhuǎn)速度為：v′=at′=4.0×2.0=8.0m/s
（3）傳送帶的速度越大，“痕跡”越長(zhǎng)．當(dāng)面粉的痕跡布滿整條傳送帶時(shí)，痕跡達(dá)到最長(zhǎng)．即痕跡長(zhǎng)為△s=2l+2πR=18.0m
在面粉袋由A端運(yùn)動(dòng)到B端的時(shí)間內(nèi)，傳送帶運(yùn)轉(zhuǎn)的距離 s_帶=△s+l_AB=18.0=8.0=26.0m
傳送帶的速度至少應(yīng)為${v}_{2}=\frac{{s}_{帶}}{t}=\frac{26}{2.0}=13.0$m/s
答：（1）當(dāng)傳送帶以v₀=4.0m/s的速度勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，將這袋面粉由左端O₂正上方的A點(diǎn)輕放在傳送帶上后，這袋面粉由A端運(yùn)送到O₁正上方的B端所用時(shí)間為2.5s；
（2）要想盡快將這帶面粉由A端送到B端（設(shè)初速度仍為零），傳送帶的速度至少應(yīng)為8.0m/s；
（3）由于面粉的滲漏，在運(yùn)送這袋面粉的過程中會(huì)在深色傳送帶上留下白色的面粉的痕跡．這袋面粉在傳送帶上留下的痕跡最長(zhǎng)能有18.0m；傳送帶的速度至少應(yīng)為13.0m/s．

點(diǎn)評(píng) 該題屬于典型的傳送帶問題，解決本題的關(guān)鍵是理清 面粉袋在傳送帶上的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，抓住臨界情況，結(jié)合牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式綜合求解，難度中等．