Question

11．天文臺一觀測員通過天文望遠(yuǎn)鏡測得某行星的半徑為R，同時還測得距該行星表面高為R處有一顆衛(wèi)星，其繞行周期為T，若引力常量為G．求：
（1）該行星的第一宇宙速度；
（2）該行星的平均密度．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)萬有引力提供向心力，求出行星的質(zhì)量，根據(jù)萬有引力提供向心力求出行星的第一宇宙速度．
（2）根據(jù)行星的質(zhì)量，結(jié)合行星的體積求出行星的平均密度．

解答 解：（1）根據(jù)$G\frac{Mm}{（2R）^{2}}=m•2R\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$得，
行星的質(zhì)量M=$\frac{32{π}^{2}{R}^{3}}{G{T}^{2}}$．
根據(jù)$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{R}$得，v=$\sqrt{\frac{GM}{R}}=\frac{4\sqrt{2}πR}{T}$．
（2）行星的平均密度$ρ=\frac{M}{V}=\frac{\frac{32{π}^{2}{R}^{3}}{G{T}^{2}}}{\frac{4}{3}π{R}^{3}}=\frac{24π}{G{T}^{2}}$．
答：（1）行星的第一宇宙速度為$\frac{4\sqrt{2}πR}{T}$．
（2）行星的平均密度為$\frac{24π}{G{T}^{2}}$．

點評 解決本題的關(guān)鍵掌握萬有引力提供向心力這一重要理論，并能靈活運(yùn)用，知道第一宇宙速度等于貼近星球表面做圓周運(yùn)動的速度．