Question

2．如圖所示，ABC為一個豎直固定的半徑為R的四分之三圓環(huán)管道，管道內(nèi)壁光滑，內(nèi)徑遠遠小于圓環(huán)半徑，計算中可以忽略，DE是一個光滑的水平桌面．質(zhì)量為m的小球直徑略小于管道內(nèi)徑，通過一根穿過管道的輕線連接一質(zhì)量為3m的物塊．初開始物塊在桌面上位于C點正下方的P點，小球在管道最低點A處，線處于張緊狀態(tài)，測得線的總長度為L=$\frac{5}{2}$πR，現(xiàn)在突然給物塊一個水平向左的初速度，物塊將向左運動而帶動小球上升，當小球到達最高點B時，管道的外壁對小球有一個向內(nèi)的大小為N=3mg的彈力． 
（1）小球在最高點的速度v₁=？
（2）在小球上升到最高點的過程中，線的拉力對小球做了多少功？
（3）物塊開始運動的初速度v₀=？

Answer 1

分析 （1）由牛頓第二定律求解；
（2）對小球上升到最高點的運動過程應(yīng)用動能定理求解；
（3）由速度的合成根據(jù)小球的速度求得物塊的速度，然后對系統(tǒng)整個運動過程應(yīng)用機械能守恒求解．

解答 解：（1）當小球到達最高點B時，管道的外壁對小球有一個向內(nèi)的大小為N=3mg的彈力，對小球應(yīng)用牛頓第二定律可得：
$N+mg=\frac{m{{v}_{1}}^{2}}{R}$
解得：${v}_{1}=2\sqrt{gR}$；
（2）在小球上升到最高點的過程中，只有重力和繩子拉力做功，故有動能定理可得：線的拉力對小球做的功W有：
$W-2mgR=\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}-0=2mgR$；
解得：W=4mgR；
（3）線的總長度為L=$\frac{5}{2}$πR，故C點的高度為πR，當小球到最高點時，物塊到C的距離為2πR，那么，繩子與豎直方向的夾角為60°，所以，物塊的速度為：
$v=\frac{{v}_{1}}{sin60°}=\frac{4}{3}\sqrt{3gR}$；
物塊和小球運動過程沒有外力做功，機械能守恒，故有：
$\frac{1}{2}•3m•{{v}_{0}}^{2}=\frac{1}{2}•3m•{v}^{2}+\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}+2mgR$=8mgR+2mgR+2mgR=12mgR；
解得：${v}_{0}=2\sqrt{2gR}$；
答：（1）小球在最高點的速度v₁=$2\sqrt{gR}$；
（2）在小球上升到最高點的過程中，線的拉力對小球做了4mgR的功；
（3）物塊開始運動的初速度v₀=$2\sqrt{2gR}$．

點評 經(jīng)典力學(xué)問題一般先對物體進行受力分析，求得合外力及運動過程做功情況，然后根據(jù)牛頓定律、動能定理及幾何關(guān)系求解．