Question

16．如圖，一個(gè)半徑為R的半球形的碗固定在桌面上，碗口水平，O點(diǎn)為其球心，碗的內(nèi)表面及碗口是光滑的．一根輕質(zhì)細(xì)線跨在碗口上，線的兩端分別系有小球A和B，當(dāng)它們處于平衡狀態(tài)時(shí)，小球A與O點(diǎn)的連線與水平線的夾角為60°．
（1）求小球A與小球B的質(zhì)量比m_A：m_B；
（2）現(xiàn)將A球質(zhì)量改為2m、B球質(zhì)量改為m，且開始時(shí)A球位于碗口C點(diǎn)，由靜止沿碗下滑，當(dāng)A球滑到碗底時(shí)，求兩球總的重力勢(shì)能改變量；（B球未碰到碗壁）
（3）在（2）條件下，當(dāng)A球滑到碗底時(shí)，求B球的速度大小．

Answer 1

分析 （1）先對(duì)m_B球受力分析，受重力和拉力，二力平衡，求出拉力；再對(duì)m_A球受力分析，根據(jù)共點(diǎn)力平衡條件列式求解．
（2）（3）A球在碗底時(shí)，v_A不等于v_B，應(yīng)將v_A沿繩和垂直于繩的方向分解，沿繩子方向的分速度即等于你B球的速度v_B的大小．再根據(jù)機(jī)械能守恒定律列式解決．

解答 解：（1）設(shè)繩的張力為T，對(duì)A球進(jìn)行受力分析，有Nsin60°+Tsin60°=m_Ag        
Ncos60°=Tcos60°
對(duì)B球進(jìn)行受力分析，有 T=m_Bg
可解得：${m_A}：{m_B}=\sqrt{3}：1$
（2）A球的重力勢(shì)能改變量為△E_pA=-m_AgR=-2mgR
B兩球的重力勢(shì)能改變量為 $△{E_{pB}}={m_B}g•\sqrt{2}R=\sqrt{2}mgR$
所以A、B兩球總的重力勢(shì)能改變量為   $△{E_p}=△{E_{pA}}+△{E_{pB}}=-（{2-\sqrt{2}}）mgR$
（3）當(dāng)A球滑到碗底時(shí)，設(shè)A、B兩球的速度分別為v_A、v_B，則v_Acos45°=v_B （1）
根據(jù)A、B兩球總機(jī)械能守恒，有△E_K+△E_p=0            （2）
即$\frac{1}{2}{m_A}{v_A}^2+\frac{1}{2}{m_B}{v_B}^2-（{2-\sqrt{2}}）mgR=0$             （3）
聯(lián)立以上三式，解得：${v_B}=\sqrt{\frac{{2（{2-\sqrt{2}}）}}{5}gR}$（或$\sqrt{0.23gR}$或$0.48\sqrt{gR}$）
答：（1）小球A與小球B的質(zhì)量比m_A：m_B；為$\sqrt{3}$：1；
（2）現(xiàn)將A球質(zhì)量改為2m、B球質(zhì)量改為m，且開始時(shí)A球位于碗口C點(diǎn)，由靜止沿碗下滑，當(dāng)A球滑到碗底時(shí)，兩球總的重力勢(shì)能改變量為-（2-$\sqrt{2}$）mgR；（B球未碰到碗壁）
（3）在（2）條件下，當(dāng)A球滑到碗底時(shí)，B球的速度大小為$\sqrt{0.23gR}$．

點(diǎn)評(píng) 本題是簡(jiǎn)單的連接體問題，先分析受力最簡(jiǎn)單的物體，再分析受力較復(fù)雜的另一個(gè)物體，同時(shí)要運(yùn)用正交分解法處理較為方便．
注意連接體中兩個(gè)物體的速度大小不一定相等．要應(yīng)用速度的分解求出兩個(gè)小球的速率關(guān)系．