Question

14．如圖所示是豎直光滑的四分之三圓弧，其半徑R=1m，其中AB、CD分別是四分之三圓弧的水平直徑、豎直直徑，在A點(diǎn)正上方P點(diǎn)由靜止開始釋放質(zhì)量m=1kg的小球，由A點(diǎn)進(jìn)入光滑豎直軌道（在A點(diǎn)無能量損失）并恰好通過最高點(diǎn)C，不計(jì)空氣阻力，重力加速度g=10m/s²．求：
（1）A、P之間的高度h；
（2）小球第一次過D點(diǎn)與過A點(diǎn)的動(dòng)能之比；
（3）當(dāng)小球運(yùn)動(dòng)到與圓心O的等高點(diǎn)B時(shí)加速度的大小．

Answer 1

分析 （1）小球恰好通過最高點(diǎn)C，由重力提供向心力，由牛頓第二定律求出小球通過C點(diǎn)的速度．再由機(jī)械能守恒定律求A、P之間的高度h；
（2）由機(jī)械能守恒定律求出小球第一次過D點(diǎn)與過A點(diǎn)的動(dòng)能之比．
（3）當(dāng)小球運(yùn)動(dòng)到與圓心O的等高點(diǎn)B時(shí)，由機(jī)械能守恒定律求出小球經(jīng)過B點(diǎn)的速度，由向心加速度求出向心加速度，再與豎直分加速度合成求解．

解答 解：（1）小球恰好通過最高點(diǎn)C，由牛頓第二定律得：$mg=\frac{mv_c^2}{R}$…①
AP之間的高度h，由機(jī)械能守恒定律得：$mgR+\frac{1}{2}mv_c^2=mgh$…②
由①②得：h=1.5m…③
（2）小球運(yùn)動(dòng)到最低的動(dòng)能E_kD，由機(jī)械能守恒定律得：$2mgR+\frac{1}{2}mv_c^2={E_k}_D$…③
小球運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)的動(dòng)能E_kA，由機(jī)械能守恒定律得：$mgR+\frac{1}{2}mv_c^2={E_{kA}}$…④
由①③④得，D點(diǎn)的動(dòng)能與A點(diǎn)的動(dòng)能之比：$\frac{{{E_{kD}}}}{{{E_{kA}}}}=\frac{5}{3}$…⑤
（3）小球運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)的速度大小，由機(jī)械能守恒定律得：$mgR+\frac{1}{2}mv_c^2=\frac{1}{2}mv_B^2$…⑥
小球運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)的向心加速度大小：${a_向}=\frac{v_B^2}{R}$…⑦
小球運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)的加速度大�。�$a=\sqrt{a_向^2+{g^2}}$…⑧
由①⑥⑦⑧得：$a=10\sqrt{10}m/{s^2}$…⑨
答：
（1）A、P之間的高度h是1.5m；
（2）小球第一次過D點(diǎn)與過A點(diǎn)的動(dòng)能之比是5：3；
（3）當(dāng)小球運(yùn)動(dòng)到與圓心O的等高點(diǎn)B時(shí)加速度的大小是10$\sqrt{10}m/{s}^{2}$．

點(diǎn)評 解決本題的關(guān)鍵知道小球到達(dá)C點(diǎn)時(shí)軌道對小球沒有作用力，運(yùn)用機(jī)械能守恒定律時(shí)，要靈活選擇研究的過程．運(yùn)用合成法求小球經(jīng)過B點(diǎn)時(shí)的加速度．