Question

17．如圖所示，水平桌面上有一輕彈簧，左端固定在A點(diǎn)，自然狀態(tài)時(shí)其右端位于B點(diǎn)．水平桌面右側(cè)有一豎直放置的軌道MNP，其形狀為半徑R=1.0m的圓環(huán)剪去了左上角120°的圓弧，MN為其豎直直徑，P點(diǎn)到桌面的豎直距離是h=2.4m．用質(zhì)量為m=0.2kg的物塊將彈簧緩慢壓縮到C點(diǎn)后釋放，物塊過(guò)B點(diǎn)后做勻變速運(yùn)動(dòng)，其位移與時(shí)間的關(guān)系為s=6t-2t²（m），物塊飛離桌面后恰好由P點(diǎn)沿切線落入圓軌道．（不計(jì)空氣阻力，g取10m/s²）
（1）求物塊m過(guò)B點(diǎn)時(shí)的瞬時(shí)速度v_B及與桌面間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ；
（2）若軌道MNP光滑，求物塊經(jīng)過(guò)軌道最低點(diǎn)N時(shí)對(duì)軌道的壓力F_N；
（3）若物塊剛好能到達(dá)軌道最高點(diǎn)M，求物塊從B點(diǎn)到M點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中克服摩擦力所做的功W．

Answer 1

分析 （1）物塊過(guò)B點(diǎn)后做勻變速運(yùn)動(dòng)，將其位移與時(shí)間的關(guān)系為s=6t-2t²與勻變速直線運(yùn)動(dòng)的位移時(shí)間公式進(jìn)行對(duì)比，得到初速度和加速度，根據(jù)牛頓第二定律求解動(dòng)摩擦因數(shù)；
（2）物塊離開D點(diǎn)做平拋運(yùn)動(dòng)，由P點(diǎn)沿圓軌道切線落入圓軌道，由機(jī)械能守恒定律求出最低點(diǎn)的速度，由向心力公式求對(duì)軌道的壓力；
（3）物塊在內(nèi)軌道做圓周運(yùn)動(dòng)，在最高點(diǎn)有臨界速度，根據(jù)機(jī)械能守恒定律，求出M點(diǎn)的速度，與臨界速度進(jìn)行比較結(jié)合動(dòng)能定理，求克服摩擦力做功．

解答 解：（1）m過(guò)B點(diǎn)后遵從s=6t-2t²（m）
所以知：v_B=6m/s，a=-4m/s²
由牛頓第二定律：μmg=ma，解得μ=0.4
（2）物塊豎直方向的分運(yùn)動(dòng)為自由落體運(yùn)動(dòng)，
P點(diǎn)速度在豎直方向的分量v_y=$\sqrt{2gh}$=4$\sqrt{3}$m/s
P點(diǎn)速度在水平方向的分量v_x=v_ytan30°=4m/s
解得離開D點(diǎn)的速度為v_D=4m/s
由機(jī)械能守恒定律，有$\frac{1}{2}$mv_N²=$\frac{1}{2}$mv_D²+mg（h+R-Rcosθ）
得v_N²=74m²/s²
根據(jù)牛頓第二定律，有F_N′-mg=m$\frac{{{v}_{N}}^{2}}{R}$
解得F_N′=16.8N
根據(jù)牛頓第三定律，F(xiàn)_N=F_N′=16.8N，方向豎直向下．
（3）物塊剛好能到達(dá)M點(diǎn)，有mg=m$\frac{{{v}_{M}}^{2}}{R}$
解得v_M=$\sqrt{gR}$=$\sqrt{10}$m/s
物塊到達(dá)P點(diǎn)的速度v_P=$\sqrt{V_D^2+V_y^2}$=8m/s
從P到M點(diǎn)應(yīng)用動(dòng)能定理，有-mgR（1+cosθ）-W_PNM=$\frac{1}{2}$mv_M²-$\frac{1}{2}$mv_P²
解得W_PNM=2.4J
從B到D點(diǎn)應(yīng)用動(dòng)能定理，
有-W_BD=$\frac{1}{2}$mv_D²-$\frac{1}{2}$mv_B²
解得W_BD=2J
物塊從B點(diǎn)到M點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中克服摩擦力所做的功為：
W=4J+2J=4.4J
答：（1）物塊m過(guò)B點(diǎn)時(shí)的瞬時(shí)速度v_B為6m/s，桌面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為0.4；
（2）若軌道MNP光滑，物塊經(jīng)過(guò)軌道最低點(diǎn)N時(shí)對(duì)軌道的壓力F_N大小為16.8N，方向豎直向下；
（3）若物塊剛好能到達(dá)軌道最高點(diǎn)M，物塊從B點(diǎn)到M點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中克服摩擦力所做的功W為4.4J．

點(diǎn)評(píng) 該題涉及到多個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程，關(guān)鍵要掌握每個(gè)遵循的物理規(guī)律，如機(jī)械能守恒定律、平拋運(yùn)動(dòng)基本公式、圓周運(yùn)動(dòng)向心力公式，還要把握住物塊到達(dá)最高點(diǎn)的臨界條件：重力提供向心力，求得臨界速度．