Question

2．如圖所示，AB為豎直平面內(nèi)的光滑的$\frac{1}{4}$圓軌道，半徑R=0.2m，其底端B與水平傳送帶相切，傳送帶長(zhǎng)L=5m，始終以v=4m/s的速度順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)．現(xiàn)有一個(gè)質(zhì)量m=1kg的物塊P從A點(diǎn)由靜止滑下，到達(dá)C點(diǎn)后拋進(jìn)水平地面上D點(diǎn)處的筐內(nèi)，物塊與傳送帶間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.2，g取10m/s²．
（1）求物塊運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力大��；
（2）求物塊由A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)的過(guò)程中，摩擦力對(duì)物塊所做的功；
（3）為了使物塊每次由A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)時(shí)均拋進(jìn)筐內(nèi)，求R的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)機(jī)械能守恒定律求出物塊P滑到B點(diǎn)時(shí)的速度，在B點(diǎn)，由牛頓第二定律和向心力公式列式，求出軌道對(duì)物塊P的支持力，由牛頓第三定律得到物塊P對(duì)軌道的壓力；
（2）根據(jù)牛頓第二定律求出物塊在傳送帶上加速運(yùn)動(dòng)時(shí)的加速度，進(jìn)而求出加速到與傳送帶達(dá)到同速物塊P通過(guò)的位移，判斷物塊的運(yùn)動(dòng)情況，再由動(dòng)能定理求摩擦力對(duì)物塊所做的功；
（3）物塊離開(kāi)C點(diǎn)后做平拋運(yùn)動(dòng)，只要物塊離開(kāi)傳送帶的速度不變，物塊每次由A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)時(shí)均能拋進(jìn)筐內(nèi)，分析物塊在傳送帶上的運(yùn)動(dòng)情況，再由機(jī)械能守恒定律求R的取值范圍．

解答 解：（1）設(shè)物塊P滑到B點(diǎn)時(shí)的速度ν₁，根據(jù)機(jī)械能守恒定律得：
mgR=$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$
得：v₁=$\sqrt{2gR}$=2m/s
設(shè)物塊在軌道末端所受支持力的大小為N，根據(jù)牛頓第二定律得：N-mg=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$
聯(lián)立以上兩式代入數(shù)據(jù)得：N=3mg=30N
根據(jù)牛頓第三定律，知物塊P對(duì)軌道壓力大小為30N，方向豎直向下
（2）物塊在傳送帶上先做勻加速運(yùn)動(dòng)時(shí)，由μmg=ma得：a=μg=2m/s²
加速到與傳送帶達(dá)到同速所需要的時(shí)間：t₁=$\frac{v-{v}_{1}}{a}$=$\frac{4-2}{2}$=1s
位移為：s₁=$\frac{{v}_{1}+v}{2}$t₁=$\frac{2+6}{2}$×1=3m＜L
此后物塊P與傳送帶一起做勻速運(yùn)動(dòng)，不再受摩擦力，則根據(jù)動(dòng)能定理得：摩擦力對(duì)物塊所做的功為：W_f=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$=6J
（3）由上分析知，物塊離開(kāi)傳送帶時(shí)的速度等于傳送帶的速度，所以只要物塊離開(kāi)傳送帶的速度為4m/s，物塊每次由A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)時(shí)均能拋進(jìn)筐內(nèi)．
當(dāng)物塊剛滑上傳送帶速度等于v=4m/s，由機(jī)械能守恒定律得：mgR₁=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$，得：R₁=0.8m
所以當(dāng)R滿(mǎn)足：0＜R≤0.8m時(shí)，物塊每次由A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)時(shí)均拋進(jìn)筐內(nèi)．
當(dāng)物塊滑上傳送帶一直做勻減速運(yùn)動(dòng)，物塊離開(kāi)傳送帶時(shí)的速度等于傳送帶的速度時(shí)，設(shè)剛滑上傳送帶的速度為v′，對(duì)整個(gè)過(guò)程，根據(jù)動(dòng)能定理得：
mgR-μmgL=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
解得：R=1.8m
所以當(dāng)R滿(mǎn)足：0.8m≤R≤1.8m時(shí)，物塊每次由A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)時(shí)均拋進(jìn)筐內(nèi)．
綜上，當(dāng)R滿(mǎn)足：0≤R≤1.8m時(shí)，物塊每次由A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)時(shí)均拋進(jìn)筐內(nèi)．
答：（1）物塊運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力大小是30N；
（2）物塊由A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)的過(guò)程中，摩擦力對(duì)物塊所做的功是6J；
（3）為了使物塊每次由A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)時(shí)均拋進(jìn)筐內(nèi)，R的取值范圍為0≤R≤1.8m．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵要理清物塊的運(yùn)動(dòng)情況，由牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式結(jié)合分析物塊的運(yùn)動(dòng)規(guī)律．要掌握平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，知道水平位移由初速度和高度共同決定．