Question

如圖所示，aa′、bb′、cc′、dd′為區(qū)域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的豎直邊界，三個區(qū)域的寬度相同，長度足夠大，區(qū)域Ⅰ、Ⅲ內分別存在垂直紙面向外和向里的勻強磁場，區(qū)域Ⅱ存在豎直向下的勻強電場．一群速率不同的帶正電的某種粒子，從邊界aa′上的O處，沿著與Oa成30°角的方向射入Ⅰ區(qū)．速率小于某一值的粒子在Ⅰ區(qū)內運動時間均為t₀；速率為v₀的粒子在Ⅰ區(qū)運動后進入Ⅱ區(qū)．已知Ⅰ區(qū)的磁感應強度的大小為B，Ⅱ區(qū)的電場強度大小為2Bv₀，不計粒子重力．求：

(1)該種粒子的比荷；
(2)區(qū)域Ⅰ的寬度d；
(3)速率為v₀的粒子在Ⅱ區(qū)內運動的初、末位置間的電勢差U；
(4)要使速率為v₀的粒子進入Ⅲ區(qū)后能返回到Ⅰ區(qū)，Ⅲ區(qū)的磁感應強度B′的大小范圍應為多少？

Answer 1

(1)　(2)　(3)  (4)B′≥B

(1)速率小于某一值的粒子在區(qū)域Ⅰ中運動時間均為t₀，這些粒子不能從bb′離開區(qū)域Ⅰ，其軌跡如圖a所示(圖中只畫出某一速率粒子的軌跡)．粒子運動軌跡的圓心角為φ₁＝300°①
t₀＝T＝T②
由牛頓第二定律得qvB＝③
T＝④
得粒子的比荷＝⑤

(2)設速率為v₀的粒子在區(qū)域Ⅰ內運動軌跡所對圓心角為φ₂，φ₂＝φ₁＝60°⑥
由幾何知識可知，穿出bb′時速度方向與bb′垂直，其軌跡如圖b所示，設軌跡半徑為R₀，d＝R₀sin φ₂⑦
R₀＝
區(qū)域Ⅰ的寬度d＝⑧
(3)設速率為v₀的粒子離開區(qū)域Ⅱ時的速度大小為v₁，方向與邊界cc′的夾角為φ₃
水平方向有d＝v₀t　豎直方向有v_y＝at⑨
a＝＝⑩
tan φ₃＝?
v₁＝2v₀?
φ₃＝30°?
由動能定理得qU＝mv－mv?
U＝?
(4)速率為v₀的粒子在區(qū)域Ⅲ內做圓周運動，當Ⅲ區(qū)內的磁感應強度為B₁時，粒子恰好不能從區(qū)域Ⅲ的邊界dd′飛出，設其軌跡半徑為r，則r(1＋cos φ₃)＝d?
r＝，解得B₁＝B?
所以，粒子能返回Ⅰ區(qū)，B′的大小范圍為B′≥B?