Question

18．如圖所示，支架的質(zhì)量為M，轉(zhuǎn)軸O處用長為L的輕繩懸掛一質(zhì)量為m的小球，若小球在豎直平面內(nèi)做圓周運動，到達(dá)最高點時，恰好支架對地面的壓力mg，設(shè)M=3m，求：
（1）小球在最高點肘的速度大小是多少？
（2）改變小球的速度，在保證小球仍能作圓周運動的前提下，當(dāng)小球運動到最低點時，支架對地面的最小壓力是多少？

Answer 1

分析 （1）小球到達(dá)最高點時，恰好支架對地面無壓力為零，則繩對支架的拉力為Mg，則繩對小球的作用力為Mg，合外力提供小球圓周運動的向心力，根據(jù)牛頓第二定律列式求解速度．
（2）小球經(jīng)過最低點是速度最小，支架對地面的最小壓力；由機械能守恒求出速度，再由牛頓第二定律求出繩子的拉力，再對支架，由平衡條件求解．

解答 解：（1）小球運動到最高點時，支架對地面無壓力，對支架分析，有繩子的拉力：F=Mg
根據(jù)牛頓第三定律知，細(xì)線對小球的力方向豎直向下，大小為T=F=Mg，對小球分析，根據(jù)牛頓第二定律有：
  T+mg=m$\frac{{v}^{2}}{L}$
解得 v=$\sqrt{\frac{（M+m）gL}{m}}$=$\sqrt{\frac{（3m+m）gL}{m}}=2\sqrt{gL}$．
（2）小球經(jīng)過最低點是速度最小，支架對地面的最小壓力；而小球經(jīng)過最低點是速度最小，小球經(jīng)過最高點是速度最小，最小時小球的重力恰好提供向心力，即：
$mg=\frac{m{v}_{1}^{2}}{L}$
所以：${v}_{1}=\sqrt{gL}$
設(shè)小球經(jīng)過最低點時的速度為v₂
由機械能守恒得：$mg2L+\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}=\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}$
在最低點，對小球，有：F′-mg=m$\frac{{v}_{2}^{2}}{L}$
解得 F′=6mg
則知支架對地面的最小壓力是 N=F′+Mg=6mg+3mg=9mg
答：（1）小球在最高點肘的速度大小是$2\sqrt{gL}$；
（2）改變小球的速度，在保證小球仍能作圓周運動的前提下，當(dāng)小球運動到最低點時，支架對地面的最小壓力是9mg．

點評 本題考查了共點力平衡和牛頓第二定律的基本運用，知道圓周運動向心力的來源是解決本題的關(guān)鍵．