Question

1．如圖所示，一輕繩長為L，下端拴著質量為m的小球（可視為質點），當球在水平面內(nèi)做勻速圓周運動時，繩與豎直方向間的夾角為θ，已知重力加速度為g，求：
（1）繩的拉力大小F；
（2）小球運動的線速度v的大��；
（3）小球運動的角速度ω及周期T．

Answer 1

分析 （1）小球在水平面內(nèi)做勻速圓周運動，小球所受的重力和拉力的合力提供圓周運動的向心力，根據(jù)力的合成求解繩的拉力大小；
（2）根據(jù)mgtanθ=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，求出小球的線速度；
（3）根據(jù)線速度與角速度、周期的關系求出角速度和周期．

解答 解：（1）以球為研究對象，受力分析如圖所示，由平衡條件Fcosθ=mg，
得：F=$\frac{mg}{cosθ}$．
（2）由牛頓第二定律：mgtanθ=m$\frac{{v}^{2}}{r}$
其中r=Lsinθ，
得：v=$\sqrt{gLtanθsinθ}$，
（3）角速度為：$ω=\frac{v}{r}$=$\sqrt{\frac{v}{Lcosθ}}$=$\sqrt{\frac{\sqrt{gLtanθsinθ}}{Lcosθ}}$，
周期為：T=$\frac{2π}{ω}$=2π$\sqrt{\frac{Lcosθ}{\sqrt{gLtanθsinθ}}}$．
答：（1）繩的拉力大小F為$\frac{mg}{cosθ}$；
（2）小球運動的線速度v的大小為$\sqrt{gLtanθsinθ}$；
（3）小球運動的角速度ω為$\sqrt{\frac{\sqrt{gLtanθsinθ}}{Lcosθ}}$，周期為2π$\sqrt{\frac{Lcosθ}{\sqrt{gLtanθsinθ}}}$．

點評 解決本題的關鍵知道小球所受的重力和拉力的合力提供圓周運動的向心力．小球在豎直方向上平衡，即拉力在豎直方向的分力等于重力．