Question

3．如圖所示，一輕繩吊著一根粗細均勻的棒，棒下端離地面高為H，上端套著一個細環(huán)．棒和環(huán)的質(zhì)量均為m，相互間的最大靜摩擦力等于滑動摩擦力kmg（k＞1）．斷開輕繩，棒和環(huán)自由下落．假設(shè)棒足夠長，與地面發(fā)生碰撞時觸地時間極短，無動能損失．棒在整個運動過程中始終保持豎直，空氣阻力不計．求：
（1）棒第一次與地面碰撞后彈起上升的過程中，環(huán)的加速度．
（2）從斷開輕繩到棒與地面第二次碰撞的瞬間，棒運動的路程s．
（3）從斷開輕繩到棒和環(huán)都靜止的過程中，摩擦力對環(huán)和棒做的總功W．

Answer 1

分析 （1）在棒上升的過程中，環(huán)要受到重力的作用，同時由于環(huán)向下運動而棒向上運動，環(huán)還要受到棒的向上的摩擦力的作用，根據(jù)牛頓第二定律列式可以求得加速度的大�。�
（2）棒運動的總路程為原來下降的高度H，加上第一次上升高度的兩倍，對棒受力分析可以求得棒的加速度的大小，在由運動學(xué)公式可以求得上升的高度．
（3）整個過程中能量的損失都是由于摩擦力對物體做的功，所以根據(jù)能量的守恒可以較簡單的求得摩擦力對環(huán)及棒做的總功．

解答 解：（1）設(shè)棒第一次上升的過程中環(huán)的加速度為a_環(huán)，由牛頓第二定律有：a_環(huán)=$\frac{kmg-mg}{m}$=（k-1）g，方向豎直向上．
（2）棒第一次落地前瞬間的速度大小為：v₁=$\sqrt{2gH}$
設(shè)棒彈起后的加速度為a_棒，由牛頓第二定律有：a_棒=-$\frac{kmg+mg}{m}$=-（k+1）g
故棒第一次彈起的最大高度為：H₁=$\frac{{v}_{1}^{2}}{{2a}_{棒}}$=$\frac{H}{k+1}$
路程為：s=H+2H₁=$\frac{k+3}{k+1}$H．
（3）解法一　設(shè)棒第一次彈起經(jīng)過t₁時間后與環(huán)達到共同速度v₁′
環(huán)的速度為：v₁′=-v₁+a_環(huán)t₁
棒的速度為：v₁′=v₁+a_棒t₁
解得：t₁=$\frac{1}{k}$$\sqrt{\frac{2H}{g}}$
v₁′=-$\frac{\sqrt{2gH}}{k}$
環(huán)的位移h_環(huán)1=-v₁t₁+$\frac{1}{2}$a_環(huán)t₁²=-$\frac{k+1}{k2}$H
棒的位移h_棒1=v₁t₁+$\frac{1}{2}$a_棒t₁²=$\frac{k-1}{k2}$H
x₁=h_環(huán)1-h_棒1
解得：x₁=-$\frac{2H}{k}$
棒、環(huán)一起下落至地，有：v₂²-v₁′²=2gh_棒1
解得：v₂=$\sqrt{\frac{2gH}{k}}$
同理，環(huán)第二次相對棒的位移為：
x₂=h_環(huán)2-h_棒2=-$\frac{2H}{k2}$
…
x_n=-$\frac{2H}{kn}$
故環(huán)相對棒的總位移x=x₁+x₂+…+x_n=-$\frac{2H}{k-1}$
所以W=kmgx=-$\frac{2kmgH}{k-1}$．
解法二：經(jīng)過足夠長的時間棒和環(huán)最終靜止，設(shè)這一過程中它們相對滑動的總路程為l，由能量的轉(zhuǎn)化和守恒定律有：
mgH+mg（H+l）=kmgl
解得：l=$\frac{2H}{k-1}$
故摩擦力對環(huán)和棒做的總功為：
W=-kmgl=-$\frac{2kmgH}{k-1}$．
答：（1）環(huán)的加速度為（k-1）g，方向豎直向上．
（2）從斷開輕繩到棒與地面第二次碰撞的瞬間，棒運動的路程：$\frac{k+3}{k+1}$H．
（3）從斷開輕繩到棒和環(huán)都靜止，摩擦力對環(huán)及棒做的總功-$\frac{2kmgH}{k-1}$．

點評 本題考查功能關(guān)系以及牛頓第二定律的綜合應(yīng)用，屬于力學(xué)綜合問題；注意：對比求摩擦力總功的兩種方法可以發(fā)現(xiàn)，應(yīng)用能量的守恒來解決本題可以很簡單的求出結(jié)果，這樣既能夠簡化解題的過程還可以節(jié)約寶貴的時間，所以在平時一定要考慮如何解題能夠簡單快捷．