Question

1．如圖所示，兩同心圓圓心為O，半徑分別為r和2r，在它們圍成的環(huán)形區(qū)域內(nèi)存在著磁感應(yīng)強(qiáng)度為B、方向垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，大量質(zhì)量為m，電量為+q的帶電粒子以不同的速率從P點(diǎn)沿各個(gè)方向射入磁場(chǎng)區(qū)域，不計(jì)粒子重力及其相互作用．
（1）若某帶電粒子從P點(diǎn)沿PO方向射入磁場(chǎng)，恰好未能進(jìn)人內(nèi)部圓形區(qū)域，求該粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間；
（2）若有些帶電粒子第一次穿過磁場(chǎng)后恰能經(jīng)過O點(diǎn)，求這些粒子中最小的入射速率．

Answer 1

分析 （1）帶電粒子從P點(diǎn)沿PO方向射入磁場(chǎng)，恰好未能進(jìn)人內(nèi)部圓形區(qū)域，說明運(yùn)動(dòng)軌跡正好與內(nèi)圓相切，在直角三角形AOP中分析幾何關(guān)系可求半徑圓心角，根據(jù)洛侖茲力充當(dāng)圓周運(yùn)動(dòng)的向心力求出速度、周期，結(jié)合圓心角求出時(shí)間；
（2）欲求這些粒子中最小的入射速率，必須知道最小半徑；粒子從P點(diǎn)經(jīng)圓周運(yùn)動(dòng)沿半徑通過圓心O，根據(jù)逆向運(yùn)動(dòng)，半徑最小的圓周運(yùn)動(dòng)其圓弧與大圓內(nèi)切，在直角三角形OBC中分析幾何關(guān)系可求半徑，洛侖茲力充當(dāng)圓周運(yùn)動(dòng)的向心力求出最小速度．

解答 解：（1）帶電粒子從P點(diǎn)沿PO方向射入磁場(chǎng)，恰好未能進(jìn)人內(nèi)部圓形區(qū)域，說明運(yùn)動(dòng)軌跡正好與內(nèi)圓相切，如圖一；
設(shè)圓弧的半徑為R₁圓心為A，連接OA、OP、AP，在直角三角形AOP中：OA²=OP²+AP²  
即：（R₁+r）²=R₁²+（2r）²
解得：R₁=1.5r
在直角三角形AOP中：tan∠A=$\frac{OP}{AP}$=$\frac{4}{3}$   所以∠A=53°
整個(gè)圓弧所對(duì)的圓心角為106°，帶電粒子做圓周運(yùn)動(dòng)：
$qvB=m\frac{{v}^{2}}{{R}_{1}}$  
$T=\frac{2π{R}_{1}}{v}$
解得：T=$\frac{2πm}{qB}$
粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間：t=$\frac{106°}{360°}T$=$\frac{53πm}{90qB}$
（2）欲求這些粒子中最小的入射速率，必須知道最小半徑；粒子從P點(diǎn)經(jīng)圓周運(yùn)動(dòng)沿半徑通過圓心O，根據(jù)逆向運(yùn)動(dòng)，半徑最小的圓周運(yùn)動(dòng)其圓弧與大圓內(nèi)切，如圖二；
設(shè)圓弧的半徑為R₂圓心為B，PBO在一條直線上，連接OP、BC，在直角三角形OBC中：OB²=OC²+BC²   即（2r-R₂）²=r²+R₂²
解得：R₂=0.75r
帶電粒子做圓周運(yùn)動(dòng)：$qvB=m\frac{{v}^{2}}{{R}_{2}}$
解得：v=$\frac{3qBr}{4m}$
答：（1）若某帶電粒子從P點(diǎn)沿PO方向射入磁場(chǎng)，恰好未能進(jìn)人內(nèi)部圓形區(qū)域，求該粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為$\frac{53πm}{90qB}$；
（2）若有些帶電粒子第一次穿過磁場(chǎng)后恰能經(jīng)過O點(diǎn)，求這些粒子中最小的入射速率為$\frac{3qBr}{4m}$．

點(diǎn)評(píng) 注意：題目中的關(guān)鍵詞“恰好”是粒子運(yùn)動(dòng)的邊界條件；最小的入射速率對(duì)應(yīng)的半徑根據(jù)逆向運(yùn)動(dòng)才能確定，做題時(shí)應(yīng)多注意、多體會(huì)．