Question

8．如圖所示，BCD為一豎直放置、半徑為R的光滑圓管軌進(jìn)，BC弧對(duì)應(yīng)的圓心角θ=60°，連線CD是圓管軌道的豎直直徑，放在光滑水平面上的彈簧彈射器水平彈射一質(zhì)量為m的小球（可視為質(zhì)點(diǎn)），恰好從圓管的B點(diǎn)沿該處切線方向進(jìn)入圓管軌道，經(jīng)BCD從圓管軌道的最高點(diǎn)D射出，且經(jīng)過D點(diǎn)時(shí)小球?qū)ν鈧?cè)管壁的作用力大小為mg，不計(jì)空氣阻力，已知重力加速度大小為g，求：
（1）小球經(jīng)過D點(diǎn)時(shí)的速度大��；
（2）彈射小球時(shí)，彈簧具有的彈性勢(shì)能．

Answer 1

分析 （1）在D點(diǎn)，由合力提供小球所需要的向心力，由牛頓第二定律和向心力公式可求得小球經(jīng)過D點(diǎn)時(shí)的速度；
（2）小球從A到B做平拋運(yùn)動(dòng)，由到達(dá)B點(diǎn)的速度方向，得出平拋運(yùn)動(dòng)的初速度與B點(diǎn)速度的關(guān)系．對(duì)B到D的過程，由機(jī)械能守恒定律列式，聯(lián)立可求得平拋的初速度，對(duì)彈簧彈射過程，由機(jī)械能守恒定律求彈簧具有的彈性勢(shì)能．

解答 解：（1）設(shè)小球經(jīng)過D點(diǎn)時(shí)的速度大小為v_D．
在D點(diǎn)，由牛頓第二定律可得：
   F+mg=m$\frac{{v}_{D}^{2}}{R}$
由題有 F=mg
解得：v_D=$\sqrt{2gR}$；
（2）設(shè)小球在B點(diǎn)時(shí)的速度大小為v_B．
從B到D的過程中，以B點(diǎn)所在水平面為參考平面，由機(jī)械能守恒定律得：
  $\frac{1}{2}$mv_B²=$\frac{1}{2}$mv_D²+mgR（1+cos60°）
設(shè)小球從A點(diǎn)到水平拋出的初速度大小為v₀；根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律可知：B點(diǎn)的水平分速度等于平拋初速度
有  v₀=v_Bcos60°
彈射的過程，由機(jī)械能守恒定律有
   E_p=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
聯(lián)立解得：E_p=$\frac{5}{8}$mgR
答：
（1）小球經(jīng)過D點(diǎn)時(shí)的速度大小是$\sqrt{2gR}$；
（2）彈射小球時(shí)，彈簧具有的彈性勢(shì)能是$\frac{5}{8}$mgR．

點(diǎn)評(píng) 本題考查向心力公式、平拋及機(jī)械能守恒定律的應(yīng)用，要注意正確選擇物理過程，明確各個(gè)過程之間的聯(lián)系，如速度關(guān)系，選擇合適的物理規(guī)律進(jìn)行研究．