Question

6．如圖所示，有一可繞豎直中心軸轉(zhuǎn)動的水平圓盤，原長為L、勁度系數(shù)為k的輕質(zhì)彈簧一端固定于軸O上，另一端連接質(zhì)量為m的小物塊A．當(dāng)圓盤靜止時，把彈簧拉長后將物塊放在圓盤上，使物塊能保持靜止的彈簧的最大長度為$\frac{5L}{4}$．設(shè)最大靜摩擦力等于滑動摩擦力大小，轉(zhuǎn)動過程中彈簧始終在彈性限度內(nèi)，則：
（1）若開始時彈簧處于原長，當(dāng)圓盤的角速度為多大時，物塊A將開始滑動？
（2）若彈簧的長度為$\frac{3L}{2}$時，小物塊與圓盤能一起勻速轉(zhuǎn)動，試求轉(zhuǎn)動角速度的范圍．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)圓盤靜止時，根據(jù)平衡，結(jié)合胡克定律求出物塊所受的最大靜摩擦力，當(dāng)彈簧處于原長時，根據(jù)牛頓第二定律求出物塊發(fā)生滑動時圓盤的角速度大小．
（2）當(dāng)圓盤的角速度最小時，小物塊受到的摩擦力f_m與彈簧的拉力方向相反，當(dāng)圓盤轉(zhuǎn)動的角速度最大時，小物塊受到的摩擦力f_m與彈簧的拉力方向相同，
根據(jù)牛頓第二定律求出圓盤角速度的范圍．

解答 解：（1）當(dāng)圓盤靜止時，把彈簧拉長后將小物塊放在圓盤上，使小物塊保持靜止的彈簧最大長度為$\frac{5L}{4}$，
所以小物塊受到的最大靜摩擦力${f}_{m}=\frac{kL}{4}$，
當(dāng)彈簧處于原長，根據(jù)${f}_{m}=mL{ω}^{2}$得，
$ω=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{k}{m}}$．
（2）當(dāng)圓盤轉(zhuǎn)動的角速度最小時，小物塊受到的摩擦力f_m與彈簧的拉力方向相反，
有：$\frac{kL}{2}-{f}_{m}=m{{ω}_{1}}^{2}\frac{3}{2}L$，
解得${ω}_{1}=\sqrt{\frac{k}{6m}}$．
當(dāng)圓盤轉(zhuǎn)動的角速度最大時，小物塊受到的摩擦力f_m與彈簧的拉力方向相同，
有：$\frac{kL}{2}+{f}_{m}=m{{ω}_{2}}^{2}•\frac{3}{2}L$，
解得${ω}_{2}=\sqrt{\frac{k}{2m}}$．
則角速度ω應(yīng)滿足$\sqrt{\frac{k}{6m}}≤ω≤\sqrt{\frac{k}{2m}}$．
答：（1）若開始時彈簧處于原長，當(dāng)圓盤的角速度為$\frac{1}{2}\sqrt{\frac{k}{m}}$時，物塊A將開始滑動；
（2）若彈簧的長度為$\frac{3L}{2}$時，小物塊與圓盤能一起勻速轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)動角速度的范圍為$\sqrt{\frac{k}{6m}}≤ω≤\sqrt{\frac{k}{2m}}$．

點評 解決本題的關(guān)鍵知道物塊做圓周運動向心力的來源，抓住臨界狀態(tài)，結(jié)合牛頓第二定律進行求解，難度中等．