Question

【題目】一玻璃立方體中心有一點狀光源。今在立方體的部分表面鍍上不透明薄膜，以致從光源發(fā)出的光線只經(jīng)過一次折射不能透出立方體。已知該玻璃的折射率為，求鍍膜的面積與立方體表面積之比的最小值。

Answer 1

【答案】

【解析】

試題分析：將題所描述的光現(xiàn)象的立體圖轉(zhuǎn)化為平面圖，考慮從玻璃立方體中心O發(fā)出的一條光線，假設(shè)它斜射到玻璃立方體上表面發(fā)生折射，如圖所示，

根據(jù)折射定律有

nsinθ=sinα ①

式中，n是玻璃的折射率，入射角等于θ，α是折射角．

現(xiàn)假設(shè)A點是上表面表面積最小的不透明薄膜邊緣上的一點．由題意，在A點剛好發(fā)生全反射，故

②

設(shè)線段OA在立方體上表面的投影長為RA，由幾何關(guān)系有

③

式中a為玻璃立方體的邊長．由①②③式得

④

由題給數(shù)據(jù)得 ⑤

由題意，上表面所鍍的面積最小的不透明薄膜應(yīng)是以RA為半徑的圓．所求的鍍膜面積S′與玻璃立方體的表面積S之比為

⑥

由⑤⑥得

⑦