Question

如圖所示，A、B兩小球用輕桿連接，A球只能沿內(nèi)壁光滑的豎直滑槽運(yùn)動(dòng)，B球處于光滑水平面內(nèi)．開始時(shí)桿豎直，A、B兩球靜止．由于微小的擾動(dòng)，B開始沿水平面向右運(yùn)動(dòng)．已知A球的質(zhì)量為m_A，B球的質(zhì)量為m_B，桿長(zhǎng)為L(zhǎng)．則：
（1）A球著地時(shí)的速度為多大？
（2）A球機(jī)械能最小時(shí)，水平面對(duì)B球的支持力為多大？
（3）若m_A=m_B，當(dāng)A球機(jī)械能最小時(shí)，桿與豎直方向夾角的余弦值為多大？

Answer 1

分析：（1）A球著地時(shí)，B球的速度為0，系統(tǒng)機(jī)械能守恒，根據(jù)機(jī)械能守恒定律列式即可求解；
（2）當(dāng)A球機(jī)械能最小時(shí)，B球的速度最大，此時(shí)B球的加速度為0，對(duì)B球受力分析即可求解；
（3）設(shè)桿與豎直方向間夾角為θ，B球的速度為v_B，此時(shí)A球的速度為v_A，根據(jù)動(dòng)能定理列式，而v_A和v_B沿桿方向上分速度大小相等，聯(lián)立方程求出v_B的表達(dá)式，再利用數(shù)學(xué)知識(shí)求解最小值，即可求解．

解答：解：（1）A球著地時(shí)，B球的速度為0．
設(shè)此時(shí)A球速度為v，由系統(tǒng)機(jī)械能守恒得m_AgL=

1

2

m_Av²，解得  v=

2gL

（2）當(dāng)A球機(jī)械能最小時(shí)，B球的速度最大，此時(shí)B球的加速度為0，則桿對(duì)球的作用力為0
設(shè)小球受到的支持力為N，對(duì)B球受力分析可得   N=m_Bg
（3）設(shè)桿與豎直方向間夾角為θ，B球的速度為v_B，此時(shí)A球的速度為v_A，則
m_AgL（1-cosθ）=

1

2

m_A

v

2 A

+

1

2

m_B

v

2 B

且v_A和v_B沿桿方向上分速度大小相等，即 v_Acosθ=v_Bsinθ
聯(lián)立解得  v_B=

2gL(1-cosθ)cos2θ

 
令y=（1-cosθ）cos²θ，當(dāng)y的導(dǎo)數(shù)y?=0時(shí)，A球機(jī)械能最小，v_B達(dá)最大值，即
sinθcos²θ-2（1-cosθ）cosθsinθ=0
解得cosθ=

2

3

答：（1）A球著地時(shí)的速度為

2gL

；
（2）A球機(jī)械能最小時(shí)，水平面對(duì)B球的支持力為m_Bg；
（3）若m_A=m_B，當(dāng)A球機(jī)械能最小時(shí)，桿與豎直方向夾角的余弦值為

2

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題關(guān)鍵分析清楚物體B的運(yùn)動(dòng)情況，然后結(jié)合機(jī)械能守恒定律和運(yùn)動(dòng)關(guān)系并結(jié)合數(shù)學(xué)知識(shí)分析，難度適中．