Question

（25分）圖中正方形 ABCD 是水平放置的固定梁的橫截面，AB 是水平的，截面的邊長都是 l 。一根長為 2l 的柔軟的輕細繩，一端固定在 A 點，另一端系一質量為 m 的小球，初始時，手持小球，將繩拉直，繞過 B 點使小球處于 C 點�，F給小球一豎直向下的初速度 v₀，使小球與 CB 邊無接觸地向下運動，當分別取下列兩值時，小球將打到梁上的何處？

1.            2. 

設繩的伸長量可不計而且是非彈性的。

Answer 1

八、參考解答：

小球獲得沿豎直向下的初速度 v₀ 后，由于細繩處于松弛狀態(tài)，故從 C 點開始，小球沿豎直方向作初速度為 v₀、加速度為 g 的勻加速直線運動。當小球運動到圖1中的 M 點時，繩剛被拉直，勻加速直線運動終止，此時繩與豎直方向的夾角為 α＝30? 。在這過程中，小球下落的距離

　 　（1）

細繩剛拉直時小球的速度 v₁ 滿足下式：

（2）

在細繩拉緊的瞬間，由于繩的伸長量可以不計，而且繩是非彈性的，故小球沿細繩方向的分速度 變?yōu)榱�，而與繩垂直的分速度保持不變，以后小球將從 M 點開始以初速度

（3）

在豎直平面內作圓周運動，圓周的半徑為 2l，圓心位于 A 點，如圖1所示。由（1）、（2）、（3）式得

（4）

當小球沿圓周運動到圖中的 N 點時，其速度為 v，細繩與水平方向的夾角為 θ ，由能量關系有

（5）

用 F_T 表示繩對小球的拉力，有

（6）

1.

設在 時（見圖2），繩開始松弛，F_T＝0，小球的速度 。以此代入（5）、（6）兩式得

　 　（7）

（8）

由（4）、（7）、（8）式和題設 v₀ 的數值可求得

（9）

（10）

即在 θ₁＝45? 時，繩開始松弛。以 N??₁ 表示此時小球在圓周上的位置，此后，小球將脫離圓軌道從 N??₁ 處以大小為 u₁，方向與水平方向成 45? 角的初速度作斜拋運動。

以 N₁點為坐標原點，建立直角坐標系 N₁xy，x軸水平向右，y 軸豎直向上。若以小球從 N₁ 處拋出的時刻作為計時起點，小球在時刻 t 的坐標分別為

　（11）

（12）

由（11）、（12）式，注意到（10）式，可得小球的軌道方程：

（13）

AD 面的橫坐標為

　（14）

由（13）、（14）式可得小球通過 AD 所在豎直平面的縱坐標

y＝0 　（15）

由此可見小球將在 D 點上方越過，然后打到 DC 邊上，DC 邊的縱坐標為

（16）

把（16）式代入（13）式，解得小球與 DC 邊撞擊點的橫坐標

x＝1.75 l 　（17）

撞擊點與 D 點的距離為

　（18）

2.

設在 時，繩松弛，F_T＝0，小球的速度 ，以此代替（5）、（6）式中的 θ₁、u₁，得

（19）

（20）

以 代入（4）式，與（19）、（20）式聯立，可解得

　（21）

　（22）

(22)式表示小球到達圓周的最高點處時，繩中張力為0，隨后繩子被拉緊，球速增大，繩中的拉力不斷增加，拉力和重力沿繩子的分力之和等于小球沿圓周運動所需的向心力，小球將繞以 D 點為圓心，l 為半徑的圓周打到梁上的 C 點。