Question

2．在太空探索者協(xié)會(huì)第27屆年會(huì)上，中方大會(huì)主席楊利偉透露：2016年我國(guó)將發(fā)射“天宮二號(hào)”空間實(shí)驗(yàn)室，并發(fā)射“神舟十一號(hào)”載人飛船與“天宮二號(hào)”交會(huì)對(duì)接．飛船與“天宮二號(hào)”空間實(shí)驗(yàn)室交會(huì)對(duì)接前，假設(shè)“天宮二號(hào)”受到空氣阻力從圓軌道1變軌至圓軌道2，已知地球半徑為R，軌道1距地面的髙度h₁，軌道2距地面的高度為h₂，已知圓軌道1和圓軌道2高度之差△h=h₁-h₂（很小），軌道所在處的重力加速度可表示為g，“天宮二號(hào)”的質(zhì)量為m，則關(guān)于“天宮二號(hào)”的變軌過程，下列說法正確的是（　�。�

• A． 變軌前后線速度大小的比值為$\sqrt{\frac{R+{h}_{1}}{R+{h}_{2}}}$
• B． 變軌前后周期的比值為$\sqrt{\frac{（R+{h}_{1}）^{3}}{（R+{h}_{2}）^{3}}}$
• C． 變軌前后向心加速度大小的比值為$\frac{（R+{h}_{1}）^{3}}{（R+{h}_{2}）^{3}}$
• D． 變軌前后克服阻力做功為mg•△h

Answer 1

分析 根據(jù)萬有引力提供向心力得出線速度、周期與軌道半徑的關(guān)系式，結(jié)合軌道半徑之比求出線速度和周期之比，結(jié)合動(dòng)能定理求出變軌前后克服阻力做功的大�。�

解答 解：ABC、根據(jù)$G\frac{Mm}{{r}_{\;}^{2}}=ma=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{r}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}r$，得$a=\frac{GM}{{r}_{\;}^{2}}$，線速度$v=\sqrt{\frac{GM}{r}}$，周期$T=\sqrt{\frac{4{π}_{\;}^{2}r3}{GM}}$，因?yàn)樽冘?前后軌道半徑分別為$R+{h}_{1}^{\;}$，$R+{h}_{2}^{\;}$，則變軌前后的線速度之比為$\sqrt{\frac{R+{h}_{2}^{\;}}{R+{h}_{1}^{\;}}}$，變軌前后的周期之比$\sqrt{\frac{（R+{h}_{1}^{\;}）_{\;}^{3}}{（R+{h}_{2}^{\;}）_{\;}^{3}}}$，向心加速度的比值為$\frac{（R+{h}_{2}^{\;}）_{\;}^{2}}{（R+{h}_{1}^{\;}）_{\;}^{2}}$，故A錯(cuò)誤，B正確，C錯(cuò)誤．
D、根據(jù)動(dòng)能定理得，$mg△h-{W}_{f}^{\;}=\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$=$\frac{1}{2}m\frac{GM}{（R+{h}_{2}^{\;}）_{\;}^{2}}-\frac{1}{2}m\frac{GM}{（R+{h}_{1}^{\;}）_{\;}^{2}}$①
根據(jù)$mg=G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}$得$GM=g{R}_{\;}^{2}$②
聯(lián)立得${W}_{f}^{\;}=\frac{1}{2}mg{R}_{\;}^{2}（\frac{1}{（R+{h}_{2}^{\;}）_{\;}^{2}}-\frac{1}{（R+{h}_{1}^{\;}）_{\;}^{2}}）$≠$mg（{h}_{1}^{\;}-{h}_{2}^{\;}）$，即${W}_{f}^{\;}≠mg△h$，故D錯(cuò)誤．
故選：B

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵掌握萬有引力提供向心力這一重要理論，知道線速度、周期與軌道半徑的關(guān)系，對(duì)變軌前后，注意動(dòng)能的變化量不為零．