Question

16．如圖所示，飛行器P繞某星球做勻速圓周運動，星球相對飛行器的張角為θ，下列說法正確的是（　�。�

• A． 軌道半徑越大，周期越短
• B． 軌道半徑越大，速度越大
• C． 若測得周期和張角，可得到星球的平均密度
• D． 若測得周期和軌道半徑，可得到星球的平均密度

Answer 1

分析 根據(jù)開普勒第三定律，分析周期與軌道半徑的關(guān)系；飛行器P繞某星球做勻速圓周運動，由星球的萬有引力提供向心力，根據(jù)萬有引力定律和幾何知識、密度公式可求解星球的平均密度．

解答 解：A、根據(jù)開普勒第三定律$\frac{{r}^{3}}{{T}^{2}}=k$，可知軌道半徑越大，飛行器的周期越長．故A錯誤；
B、根據(jù)衛(wèi)星的速度公式v=$\sqrt{\frac{GM}{r}}$，可知軌道半徑越大，速度越小，故B錯誤；
C、設(shè)星球的質(zhì)量為M，半徑為R，平均密度為，ρ．張角為θ，飛行器的質(zhì)量為m，軌道半徑為r，周期為T．
對于飛行器，根據(jù)萬有引力提供向心力得：G$\frac{mM}{{r}^{2}}=mr\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$
由幾何關(guān)系有：R=rsin$\frac{θ}{2}$
星球的平均密度 ρ=$\frac{M}{\frac{4}{3}π{R}^{3}}$
由以上三式知測得周期和張角，可得到星球的平均密度．故C正確；
D、由G$\frac{mM}{{r}^{2}}=mr\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$可得：M=$\frac{4π{r}^{3}}{G{T}^{2}}$，可知若測得周期和軌道半徑，可得到星球的質(zhì)量，但星球的半徑未知，不能求出星球的平均密度．故D錯誤．
故選：C．

點評 本題關(guān)鍵掌握開普勒定律和萬有引力等于向心力這一基本思路，結(jié)合幾何知識進(jìn)行解題．