Question

17．一個(gè)半徑為R、半球形的光滑碗固定不動(dòng)．碗口處于水平面內(nèi)．
（1）若將小球靜止從碗口內(nèi)側(cè)釋放，運(yùn)動(dòng)中能達(dá)到的最大速度為多少？
（2）若將質(zhì)量m的小球靜止從碗口內(nèi)側(cè)釋放，從釋放開始計(jì)時(shí)，t時(shí)間內(nèi)重力的平均功率$\overline{P}$，小球尚未到達(dá)碗底，則t時(shí)間末小球的瞬時(shí)速度為多少？
（3）求在上問(wèn)中t時(shí)間末小球重力的瞬時(shí)功率為多少？
（4）如圖所示，若將小球以沿球面的水平初速度v₀從碗口內(nèi)側(cè)釋放，小球會(huì)逐漸轉(zhuǎn)動(dòng)著下落．在運(yùn)動(dòng)到任意位置A時(shí)，將速度沿水平方向和沿圖中圓弧虛線的切線向下分解，則水平分速度滿足v_x=$\frac{{v}_{0}}{cosθ}$（θ為小球與球心O點(diǎn)連線和水平面的夾角）．某次釋放后，θ=30°時(shí)小球速度最大．求釋放初速度v₀（用g、R表示）．

Answer 1

分析 （1）由機(jī)械能守恒定律即可求解速度；
（2）根據(jù)平均功率$\overline{P}=\frac{W}{t}$求出高度，再由機(jī)械能守恒定律即可求解；
（3）豎直方向瞬時(shí)功率P_t=mgv_y，再根據(jù)幾何關(guān)系即可求解；
（4）速度最大處即為其軌跡的最低點(diǎn)，此處小球無(wú)沿球面向下的速度分量，再根據(jù)動(dòng)能定理列式即可求解．

解答 解：（1）由機(jī)械能守恒定律有：$\frac{1}{2}mv_m^2=mgR$
   解得：${v_m}=\sqrt{2gR}$
（2）平均功率$\overline P=\frac{mgh}{t}$，解得 $h=\frac{\overline Pt}{mg}$
由機(jī)械能守恒定律有：$\frac{1}{2}mv_t^2=mgh$
 t時(shí)間末瞬時(shí)速度${v_t}=\sqrt{2gh}=\sqrt{2g\frac{\overline Pt}{mg}}=\sqrt{\frac{2\overline Pt}{m}}$
（3）豎直方向瞬時(shí)功率P_t=mgv_y
而 ${v}_{y}={v}_{t}sinθ={v}_{t}×\frac{\sqrt{{R}^{2}-{h}^{2}}}{{R}^{\;}}=\sqrt{\frac{2\overline{P}t}{m}}×\frac{\sqrt{{R}^{2}-{h}^{2}}}{{R}^{\;}}$
  解得：${P_t}=\sqrt{\frac{{2\overline Pt（{m^2}{g^2}{R^2}-{{\overline P}^2}{t^2}）}}{{m{R^2}}}}$
（4）速度最大處即為其軌跡的最低點(diǎn)，此處小球無(wú)沿球面向下的速度分量．則小球速度就是v_x=$\frac{v_0}{cosθ}$，
 根據(jù)動(dòng)能定理（或機(jī)械能守恒）
$mgRsinθ=\frac{1}{2}mv_x^2-\frac{1}{2}mv_0^2$
聯(lián)立上兩式得${v_0}=\sqrt{3gR}$
答：（1）若將小球靜止從碗口內(nèi)側(cè)釋放，運(yùn)動(dòng)中能達(dá)到的最大速度為$\sqrt{2gR}$；
（2）若將質(zhì)量m的小球靜止從碗口內(nèi)側(cè)釋放，從釋放開始計(jì)時(shí)，t時(shí)間內(nèi)重力的平均功率$\overline{P}$，小球尚未到達(dá)碗底，則t時(shí)間末小球的瞬時(shí)速度為$\sqrt{\frac{2\overline{P}t}{m}}$；
（3）求在上問(wèn)中t時(shí)間末小球重力的瞬時(shí)功率為$\sqrt{\frac{2\overline{P}t（{m}^{2}{g}^{2}{R}^{2}-{\overline{P}}^{2}{t}^{2}）}{m{R}^{2}}}$；
（4）釋放初速度為$\sqrt{3gR}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主題考查了機(jī)械能守恒定律、動(dòng)能定理以及平均功率和瞬時(shí)功率的計(jì)算，過(guò)程較為復(fù)雜，難度適中．