Question

12．宇航員駕駛宇宙飛船到達(dá)周圍空間沒有大氣層的某星球表面附近后，調(diào)整好飛船姿態(tài)后在靠近該星球表面的近體園軌道勻速運(yùn)行一周，測(cè)出運(yùn)行周期為T；緊接著宇航員調(diào)整并使之安全著陸在該星球表面上，宇航員離開飛船站在該星球表面上，在離該星球表面某一高度處將一小球以初速度v₀水平拋出，測(cè)出其水平射程為s．已知該星球的半徑為R，引力常量為G，求：
（1）該星球的質(zhì)量M；
（2）小球開始拋出時(shí)離地的高度h．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力求得星球的質(zhì)量
（2）根據(jù)星球表面重力等于萬(wàn)有引力和平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律聯(lián)立求解

解答 解：（1）飛船繞該星球做近體運(yùn)行，星球?qū)︼w船的萬(wàn)有引力提供向心力，有：
$G\frac{M{m}_{飛}^{\;}}{{R}_{\;}^{2}}={m}_{飛}^{\;}\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}R$
解得該星球的質(zhì)量為：
$M=\frac{4{π}_{\;}^{2}{R}_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}}$
（2）小球做平拋運(yùn)動(dòng)，水平方向上做勻速直線運(yùn)動(dòng)，有：
$s={v}_{0}^{\;}t$
豎直方向上做自由落體運(yùn)動(dòng)，有：
$h=\frac{1}{2}g{t}_{\;}^{2}$
在該星球表面，小球受到該星球的萬(wàn)有引力近似等于重力，有：
$G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}=mg$
小球開始拋出時(shí)離地的高度為：
$h=\frac{2{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}R•\frac{{s}_{\;}^{2}}{{v}_{0}^{2}}=\frac{2R{π}_{\;}^{2}{s}_{\;}^{2}}{{v}_{0}^{2}{T}_{\;}^{2}}$
答：（1）該星球的質(zhì)量M為$\frac{4{π}_{\;}^{2}{R}_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}}$；
（2）小球開始拋出時(shí)離地的高度h為$\frac{2R{π}_{\;}^{2}{s}_{\;}^{2}}{G{T}_{\;}^{2}}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查了萬(wàn)有引力提供向心力和萬(wàn)有引力等于重力這兩個(gè)理論，并能靈活運(yùn)用，難度適中．