Question

15．如圖所示，空間存在著方向豎直向下、場強(qiáng)大小為E的勻強(qiáng)電場和方向水平向外、磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B的勻強(qiáng)磁場．兩個帶電小球1和2均在垂直于磁場方向的同一豎直平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動，運(yùn)動軌跡如圖所示．已知兩球的質(zhì)量關(guān)系為m₁=3m₂，軌跡半徑關(guān)系為R₁=3R₂=18cm．不考慮兩球間的靜電力和空氣阻力．
（1）指出小球1的帶電性質(zhì)和繞行方向；
（2）求兩球所帶電荷量q₁和q₂的定量關(guān)系；
（3）設(shè)兩球在圖中的P點(diǎn)發(fā)生碰撞，且碰撞后小球2能在小球1原先的軌跡上運(yùn)動，求碰撞后小球1運(yùn)動的軌跡半徑．（假設(shè)碰撞時兩球間的電荷不發(fā)生轉(zhuǎn)移）

Answer 1

分析 （1）因?yàn)閮蓚€小球均在豎直平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動，則所受的指向圓心方向的合力只有由洛侖茲力提供，那么豎直方向的重力與電場力平衡，小于電場力向上，所以兩小球均帶負(fù)電．再由左手定則反過來由洛侖茲力確定速度方向，只能是逆時針方向運(yùn)動．
（2）由洛侖茲力提供向心力：$qvB=\frac{m{v}^{2}}{R}$，可以得到小球做勻速圓周運(yùn)動的半徑 $R=\frac{mv}{qB}$，所以由半徑、速度關(guān)系求得電量關(guān)系．
（3）由動量守恒定律求出小球1碰撞后的速度與碰前小球1或2的速度關(guān)系，從而得到小球1的半徑．

解答 解：（1）由題意，小球1在豎直平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動，豎直方向的重力與電場力平衡，電場力向上，所以小球1帶負(fù)電．再由左手定則，洛侖茲力指向圓心，所以小球1應(yīng)該做逆時針方向圓周運(yùn)動．
（2）豎直方向上有，對兩球均有：m₁g=Eq₁，m₂g=Eq₂    
   而m₁=3m₂
  所以有：q₁=3q₂
（3）由洛侖茲力提供向心力：$qvB=\frac{m{v}^{2}}{R}$，可以得到小球做勻速圓周運(yùn)動的半徑 $R=\frac{mv}{qB}$
   由以上質(zhì)量和速度的關(guān)系可得：$\frac{{v}_{1}}{{v}_{2}}=\frac{{R}_{1}}{{R}_{2}}=\frac{3}{1}$，即v₁=3v₂
   由題意碰撞后：R₂′=R₁，即$\frac{{m}_{2}{v}_{2}′}{{q}_{2}B}=\frac{{m}_{1}{v}_{1}}{{q}_{1}B}$  
   聯(lián)立聯(lián)立得：v₂′=v₁=3v₂
   碰撞前后動量守恒：m₁v₁+m₂v₂=m₁v₁′+m₂v₂′
   將已知關(guān)系代入上式得：${v}_{1}′=\frac{8}{3}{v}_{2}$${R}_{1}′=\frac{{m}_{1}{v}_{1}′}{{q}_{1}B}=\frac{3{m}_{2}×\frac{8}{3}{v}_{2}}{3{q}_{2}B}=\frac{8}{3}{R}_{2}$=0.16m
答：（1）小球1帶負(fù)電做逆時針繞行．
（2）兩球所帶電荷量q₁和q₂的定量關(guān)系是：q₁=3q₂．
（3）設(shè)兩球在圖中的P點(diǎn)發(fā)生碰撞，且碰撞后小球2能在小球1原先的軌跡上運(yùn)動，碰撞后小球1運(yùn)動的軌跡半徑是0.16m．

點(diǎn)評 由于題目已知質(zhì)量、半徑關(guān)系，從而求出電量關(guān)系，至于第三問的碰撞問題由動量守恒定律求出碰后小球1與碰前小球的速度關(guān)系，再由半徑公式求出小球1的半徑．該題涉及洛侖茲力產(chǎn)生加速度、動量守恒定律等內(nèi)容，用比值方法容易求得．