Question

如圖所示，在坐標(biāo)系xOy第二象限內(nèi)有一圓形勻強(qiáng)磁場區(qū)域（圖中未畫出），磁場方向垂直xOy平面．在x軸上有坐標(biāo)（-2l₀，0）的P點，三個電子a、b、c以相等大小的速度沿不同方向從P點同時射入磁場區(qū)，其中電子b射入方向為+y方向，a、c在P點速度與b速度方向夾角都是θ=

π

3

．電子經(jīng)過磁場偏轉(zhuǎn)后都垂直于y軸進(jìn)入第一象限，電子b通過y軸Q點的坐標(biāo)為y=l₀，a、c到達(dá)y軸時間差是t₀．在第一象限內(nèi)有場強(qiáng)大小為E，沿x軸正方向的勻強(qiáng)電場．已知電子質(zhì)量為m、電荷量為e，不計重力．求：
（1）電子在磁場中運(yùn)動軌道半徑和磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度B．
（2）電子在電場中運(yùn)動離y軸的最遠(yuǎn)距離x．
（3）三個電子離開電場后再次經(jīng)過某一點，求該點的坐標(biāo)和先后到達(dá)的時間差△t．

Answer 1

分析：（1）連接兩個圓心、入射點和出射點構(gòu)成的平行四邊形，得到當(dāng)圓形磁場區(qū)域半徑等于粒子做圓周運(yùn)動的半徑時，從磁場邊緣的一點向各個方向射出的粒子，偏轉(zhuǎn)后平行射出，由幾何關(guān)系得到軌道半徑，然后根據(jù)洛倫茲力提供向心力列式求解；
（2）電子進(jìn)入電場后做勻減速直線運(yùn)動，根據(jù)動能定理列式求解；
（3）連接兩個圓心、入射點和出射點構(gòu)成的平行四邊形，得到當(dāng)圓形磁場區(qū)域半徑等于粒子做圓周運(yùn)動的半徑時，寬度與磁場直徑相等的粒子束經(jīng)過磁場后匯聚一點，然后作出三個粒子束的軌跡圖后進(jìn)行分析．

解答：解：（1）三電子軌跡如圖．

由圖可知，R=l₀
設(shè)a、c到達(dá)y軸時間差為t₀，其中它們離開磁場后到達(dá)y軸時間是相等的，在磁場區(qū)中a轉(zhuǎn)過30°圓心角，時間t_a=

T

12

，c轉(zhuǎn)過150°圓心角，時間t_c=

5T

12

，
t₀=t_b-t_a=

T

3

=

2πm

3eB0

，故B₀=

2πm

3et0

（2）電子在磁場中運(yùn)動ev₀B₀=m

v02

R

，解得v₀=

eB0R

m

=

2πl0

3t0

在電場中-eEx₁=0-

1

2

m

v

2 0

得x₁=

m v 2 0

2Ex1

（3）電子離開電場再次返回磁場軌跡如圖，坐標(biāo)x=-2l₀，y=2l₀，由運(yùn)動的對稱性可知：
a、c同時到達(dá)，與b比較磁場中運(yùn)動時間都是半個周期，電場中運(yùn)動時間也都相等，所以時間差為在非場區(qū)
△t=2（R-Rcos60°）=l₀
△t=

l0

v0

=

3t0

2π

，b先到達(dá)．
答：（1）電子在磁場中運(yùn)動軌道半徑為l₀，磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度B為

2πm

3et0

；
（2）電子在電場中運(yùn)動離y軸的最遠(yuǎn)距離為

m v 2 0

2Ex1

；
（3）三個電子離開電場后再次經(jīng)過某一點，該點的坐標(biāo)和先后到達(dá)的時間差△t為

3t0

2π

．

點評：本題關(guān)鍵是畫出粒子的運(yùn)動軌跡圖進(jìn)行動態(tài)分析，然后結(jié)合幾何關(guān)系并運(yùn)用洛倫茲力提供向心力列式求解．